小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11倍长中线证全等1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【解答】（1）解： 在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解： 由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：86﹣＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， AD是△ABC中线，∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE， ∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com边的关系即可判断中线AD的取值范围是1.5＜AD＜6.5；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图①，将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案为：1.5＜AE＜6.5；（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，在△FDC和△NDB中，，∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC， DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH， ∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，，∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD， ∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，，∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）1＜AD＜5． AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴64﹣＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如...