小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设f(x)=x2+ax+b在[0,1]中有两个实数根,则a2−2b的取值范围为.【答案】[0,2]【解析】提示：因为f(x)=x2+ax+b=(x+a2)2+b−a24在[0,1]中有两个实数根,所以a,b满足f(0)=b≥0,f(1)=a+b+1≥0,a2−4b≥0,0≤−a2≤1，由此可以得到a2−2b的取值范围为[0,2].2．【2017年江苏预赛】设x、y是实数,则2x+❑√2y2x4+4y4+9的最大值是.【答案】14【解析】提示:因为2x4+2+2+2≥8x,4y4+1+1+1≥4❑√2y,所以2x4+4y4+9≥8x+4❑√2y.两边同除以2x4+4y4+9,得2x+❑√2y2x4+4y4+9≤14,当x=1,y=❑√22时取等号.因此2x+❑√2y2x4+4y4+9的最大值是14.3．【2016年陕西预赛】设m、n均为正整数，且满足24m=n4.则m的最小值为________.【答案】54【解析】由n4=24m=23×3m，知mmin=2×33=54.4．【2016年陕西预赛】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x)+g(x)=2x.若对x∈[1，2]，不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是_______.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】¿【解析】由f(x)+g(x)=2x①⇒f(-x)+g(-x)=2-x⇒-f(x)+g(x)=2-x.②由式①、②得，g(x)=2x+2−x2，f(x)=2x−2−x2.由af(x)+g(2x)≥0⇒a(2x-2-x)+22x+2-2x≥0.③令t=2x-2–x，由x[1，2]，得t∈[32，154]，且22x+2-2x=t2+2.则对t∈[32，154]由式③得−a≤t+2t.因为函数t+2t在区间[32，154]内单调递增，所以t=❑√32时，(t+2t)min=176.故−a≤176，即a≥−176.5．【2016年陕西预赛】设a∈R.则函数f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值为_______.【答案】1【解析】注意到，f(x)=2∨x−12∨+3∨x−23∨+4∨x−34∨+5∨x−25∨¿¿2¿≥2∨(x−12)−(x−45)∨+3∨(x−23)−(x−45)∨¿2∨45−12∨+3∨45−23∨¿1当且仅当(x−12)(x−45)≤0，(x−23)(x−45)≤0，x−34=0，即x=34时，等号成立.故f（x）min=f(34)=16．【2016年福建预赛】设f(x)为定义在R上的函数，若f(0)=1008，且对任意的x∈R，满足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)，f(x+12)-f(x)≥6(x+5).则f(2016)2016=¿_________.【答案】504.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】由条件知f(x+12)-f(x)=(f(x+12)-f(x+8))+(f(x+8)-f(x+4))+(f(x+4)-f(x))≤2((x+8)+1)+2((x+4)+1)+2(x+1)=6x+30-6(x+5).又f(x+12)-f(x)≥6(x+5)，于是，f(x+12)-f(x)=6(x+5).则f(2016)¿∑k=0167(f(12k+12)−f(12k))+f(0)=6∑k=0167(12k+5)+1008¿6×(2009+5)×1682+1008¿1008×1008.故f(2016)2016=10082=504.7．【2016年福建预赛】当x、y、z为正数时，4xz+yzx2+y2+z2的最大值为________.【答案】❑√172.【解析】注意到，（1）x2+1617z2≥2❑√1617xz，当且仅当x=4❑√17z时，等号成立；（2）y2+117z2≥2❑√117yz，当且仅当x=1❑√17z时，等号成立.则x2+y2+z2¿(x2+1617z2)+(y2+116z2)≥2❑√1617xz+2❑√117yz¿2❑√17(4xz−yz)⇒4xz+yzx2+y2+z2≤❑√172.当且仅当x：y：z=4：1：❑√17时，上式等号成立.从而，4xz+yzx2+y2+z2的最大值为❑√172.8．【2016年新疆预赛】已知x、y>0,且x+2y=2.则x22y+4y2x的最小值为______.【答案】2【解析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令a=(❑√x22y,❑√4y2x),b=(❑√2y,❑√x)，则|a|=❑√x22y+❑√4y2x,|b|=❑√2y+x=❑√2.a⋅b=x+2y=2，由|a||b|≥a⋅b⇒x22y+4y2x≥2,当且仅当a与b同向时,上式等号成立.故当x=2y=1时,x22y+4y2x取得最小值2.9．【2016年山西预赛】设n为正整数，使❑√3介于n+3n与n+4n+1之间．则n＝__________.【答案】4【解析】注意到，n+4n+1=1+3n+1<1+3n=n+3n.而❑√3为无理数，则1+3n+1<❑√3<1+3n⇒3n+1<❑...