小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第四课时双变量问题题型一转化为同源函数解决例1已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范围.解由题意，k＝，则原不等式化为x1＋x2＋＞0，不妨设x1＞x2＞0，则(x1＋x2)(x1－x2)＋f(x1)－f(x2)＞0，即x－x＋f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＋x＞f(x2)＋x.设g(x)＝f(x)＋x2＝lnx＋x2－ax＋1，则g′(x)＝＋2x－a＝，由已知，当x1＞x2＞0时，不等式g(x1)＞g(x2)恒成立，则g(x)在(0，＋∞)上是增函数.所以当x＞0时，g′(x)≥0，即2x2－ax＋1≥0，即a≤＝2x＋恒成立，因为2x＋≥2，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，所以＝2.故a的取值范围是(－∞，2].感悟提升此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.训练1已知函数f(x)＝alnx＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＞x2)，总能使得＞2，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(1，2)D.[1，2]答案B解析由＞2，x1＞x2＞0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴f(x1)－f(x2)＞2x1－2x2，∴f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2，构造函数g(x)＝f(x)－2x＝alnx＋x2－2x，则g(x1)＞g(x2)，∴函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，由于g′(x)＝＋x－2，则g′(x)≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，由g′(x)＝＋x－2≥0，可得a≥－x2＋2x，当x＞0时，则y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，∴a≥1，因此实数a的取值范围为[1，＋∞).题型二整体代换例2(2022·德州质检)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，g(x)＝2alnx－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′＞0.证明方程f(x)＝g(x)，即x2－(a－2)x－alnx＝b，在(1，＋∞)上有两个不等实根x1和x2，不妨设1＜x1＜x2，则x－(a－2)x1－alnx1＝b①，x－(a－2)x2－alnx2＝b②，①－②得a＝， a＞2，f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝＝，x＞0，则f(x)在上单调递减，上单调递增，∴当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，若证f′＞0，只需证＞，即a＜x1＋x2，只需证＜x1＋x2， x1＜x2，∴x1＋lnx1＜x2＋lnx2，即需证x＋2x1－x－2x2＞(x1＋x2)(x1＋lnx1－x2－lnx2)，整理得lnx1－lnx2＜，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即证ln＜，令t＝∈(0，1)，设h(t)＝lnt－，h′(t)＝＞0，显然h(t)在(0，1)上单调递增.∴h(t)＜h(1)＝0，故f′＞0得证.感悟提升(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题，一般是根据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，确定x1，x2的关系，再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.训练2设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1＋lnx2＞2.证明由已知得lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以a＝＝，所以lnx1＋lnx2＞2等价于ln＞2，即ln＞2，设x1＞x2，令t＝＞1，g(t)＝lnt－，则g′(t)＝－＝＞0，所以g(t)＞g(1)＝0，即lnt＞，即得lnt＞2，所以原题得证.题型三构造具体函数解决双变量问题例3(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－lnx).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2<＋<e.[规范答题](1)解因为f(x)＝x(1－lnx)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnx＋x·＝－lnx.当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文...