小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90°所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A)A．40°B．45°C．50°D．60°图2变形1答图【解析】如图，连接OB， ∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°. OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．图3小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com变形2答图【解析】如图，连接DO并延长， 四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∠ AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°. ∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(1∠＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．【解析】在优弧ADC上取点D，连接AD，CD， ∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30°. ∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(A)A．35°B．45°C．55°D．75°如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在△ABC中， ∠BAC＝∠APC＝60°，又 ∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°. OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com图6变形5答图二圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．图7解： OA⊥BC，∴AC＝AB，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB的长为(A)图8A．9cmB．3cmC.cmD.cm解： ∠CBA＝30°，∴∠AOC＝2∠CBA＝60°， AB⊥OC，∴∠ADO＝90°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝×3＝(cm)，由勾股定理得：AD＝＝4.5cm， AB⊥OC，OC过O，∴AB＝2AD＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(D)图9变形2答图A．2B．8C．2D．2【解析】 ⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中， AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE， AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中， AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中， BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2.故选D.如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(A)图10变形3答图A．4cmB．3cm小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.comC．5cmD．4cm【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴CD＝BD，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝AC＝3cm，在Rt△DOE中，，DE＝＝4cm，在Rt△ADE中，AD＝＝4cm，故选A.如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则G...