小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22二次函数与等腰直角三角形存在问题1．（2021·湖南怀化·中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．【分析】（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com可；（2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当时，②当时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可．【详解】解：（1） ，，，∴，设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，∴二次函数的解析式为，即为；（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，解得：，∴直线BC的解析式为，∴点，，∴由两点距离公式可得，若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有，①当时，则有轴，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴点，②当时，如图所示：∴，∴，∴点；（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示： OC=8，点D为CO的中点，∴OD=4，∴， 抛物线的对称轴为直线，∴，设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，解得：，∴直线HI的解析式为，当y=0时，则有，解得：，当x=1时，则有，∴点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴点G走过的最短路程为；（4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：设点，则有：①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示：过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，∴，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL， 等腰，∴，∴，∴，∴，∴，∴， 点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴，解得：（不符合题意，舍去），∴；②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如图所示：同理①可得，解得：（不符合题意，舍去），∴；综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或．【点睛】本题主要考查二...