免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com2.2基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com方法二：代数法 ，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值1.直接法求最值2.常规凑配法求最值3.消参法求最值4.换元求最值5.“1”的代换求最值6.法7.条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例．【详解】当时，，A错；时，满足，但，B错；时，满足，，C错．，则，，当且仅当时等号成立．D正确．故选：D．例...