2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试高三数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5C6.D7.C8.B二、多项选择题9.ABD10.AD11.ACD三、填空题12.y=−3x−2e(或写成3ex+ey+2=0)13.√214.110四、解答题15.（13分）（1）cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=−12，…………………………………………………………3分又因为𝐵∈(0,π)，所以𝐵=2𝜋3.…………………………………………………………6分（2）解法一：如图，由题意可知，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=12∠𝐴𝐵𝐶=𝜋3因为𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷，所以12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛2𝜋3=12𝐵𝐷⋅𝑐𝑠𝑖𝑛𝜋3+12𝐵𝐷⋅𝑎𝑠𝑖𝑛𝜋3=12𝐵𝐷⋅(𝑎+𝑐)𝑠𝑖𝑛𝜋3，………………………………………………………………………8分又c=3,BD=2，，所以a=6，……………………………………………………………………………………10分在ΔABC中，由余弦定理得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶=63……………………12分，所以b=3√7，…………………………………………………………………………13分解法二：由解法一可知：如图，由题意可知，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=12∠𝐴𝐵𝐶=𝜋3因为𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷，所以12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛2𝜋3=12𝐵𝐷⋅𝑐𝑠𝑖𝑛𝜋3+12𝐵𝐷⋅𝑎𝑠𝑖𝑛𝜋3=12𝐵𝐷⋅(𝑎+𝑐)𝑠𝑖𝑛𝜋3，…………………8分又c=3,BD=2，所以a=6，……………………………………………………………………………………10分在△𝐵𝐶𝐷中，由余弦定理得𝐶𝐷2=𝐵𝐶2+𝐵𝐷2−2𝐵𝐶⋅𝐵𝐷cos∠𝐷𝐵𝐶=28，所以CD=2√7，………………………………………………………………………………11分在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理得𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐷=7，{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}所以AD=√7，………………………………………………………………………………12分所以AC=2√7+√7=3√7，，即b=3√7，…………………………………………………13分16.（15分）(1)由题意抛物线C经过点M(1,2),代入方程可得p=1………………………………2分于是抛物线C的标准方程为y2=2x…………………………………………………………4分(2)依题意，直线与抛物线有2个交点A(x1,y1)B(x2,y2)所以直线存在斜率且不为0，设直线l:x=ty+4联立{𝑦2=2𝑥𝑥=𝑡𝑦+4，整理得y2-2ty-8=0,△>0,t∈R……………………………………………6分y1+y2=2t,y1y2=-8………………………………………………………………………………8分整理得：𝑆=12×4|𝑦1−𝑦2|=2√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=2√4𝑡2+32≥8√2故S的取值范围是[8√2,+∞])…………………………………………………………………9分(3)由题意得抛物线的焦点F(12,0),又由𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，可知直线l过焦点F且斜率不为0于是可设直线的方程为：x=ty+12,……………………………………………………11分设A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程组{𝑦2=2𝑥𝑥=𝑡𝑦+12得y2-2ty-1=0,△=4t2+1>0于是y1+y2=2t,y1y2=-1………………………………………………………………………13分由𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗可知，-y1=2y2，代入上式y1=4t,y2=-2ty1y2=-8t2=-1,t=±24所以直线的方程4x-2y-2=0或4x+2y-2=0……………………………………………15分17.（15分）（1）设𝐴𝐶,𝐵𝐷交于点𝑂，连接𝐴1𝑂，如图，因为,BCCDABAD==，则点𝐴,𝐶在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，即有𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝑂为𝐵𝐷的中点，………………………………………………………………2分又因为𝐴1𝐵=𝐴1𝐷，则𝐴1𝑂⊥𝐵𝐷，…………………………………………………………3分又𝐴1𝑂∩𝐴𝐶=𝑂,𝐴1𝑂,𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，因此𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，……………………5分而𝐴1𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，所以𝐵𝐷⊥𝐴1𝐶.…………………………………………………………………………………7分{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}（2）由（1）知，𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，而𝐵𝐷⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，在平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1内过𝑂作𝑂𝑧⊥𝐴𝐶，又平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面11ACCAAC=，因此𝑂𝑧⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，………………...