高三数学参考答案第1页(共8页)高三数学参考答案1.【答案】B【解析】因为2x>12=2-1,所以x>-1,所以A=x2x>12=xx>-1,又B=x-2<x<2,所以A∩B=x-1<x<2.2.【答案】A【解析】设z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2+2abi-b2=-2i,所以a2-b2=0,2ab=-2,解得a2=b2=1,所以z=a2+b2=2.3.【答案】A【解析】当a>1时,结合图象可知,当x>0时,(a+1)x-ax>0,x>0,所以f(x)>0.当x<0时,(a+1)x-ax<0,x<0,所以f(x)<0,当x=0时,f(x)=0,所以函数f(x)只有一个零点.4.【答案】C【解析】由题设M4,0,Px0,y0,则y20=4x0,所以MP2=x0-42+y20=x20-8x0+16+4x0=x0-22+12,由x0≥0,所以MP2≥12⇒MP≥23,即点P到点4,0的距离的最小值为23.5.【答案】D【解析】Ⅰ.当x≥a时,y=|x-3a|-3;若a=0,则y=|x|-3,当x≥0时,y=x-3≥-3;若a>0,当x=3a时,y取得最小值-3,即y≥-3;若a<0,y=|x-3a|-3,x-3a>0,y=x-3a-3,在x≥a时单调递增,y≥a-3a-3=-2a-3;Ⅱ.当x<a时,函数y=a(x-a)2-2的图象是一个二次函数,其对称轴为x=a;若a>0,则y=a(x-a)2-2在(-�,a)上单调递减,y>a(a-a)2-2=-2;若a=0,y=-2(x<0);若a<0,则y=a(x-a)2-2在(-�,a)上单调递增,y<a(a-a)2-2=-2;因为函数f(x)的值域为R,当a>0时,y=|x-3a|-3在x≥a时最小值为-3,y=a(x-a)2-2在x<a时y>-2,不满足值域为R;当a=0时,y=-2(x<0),y=|x|-3(x≥0),y≥-3,不满足值域为R;当a<0时,y=|x-3a|-3在x≥a时y≥-2a-3,y=a(x-a)2-2在x<a时y<-2;为使值域为R,需满足-2a-3≤-2,解得a≥-12,综上,-12≤a<0.6.【答案】C【解析】设OA→=4,m,OB→=4,m-4,设OA→与OB→的夹角为∠AOB=θ,若θ∈0,π,OA→·OB→=16+m2-4m=(m-2)2+12≥12>0,则知θ∈(0,π2),S△AOB=12×4×4=8=12OA→·OB→sinθ,即OA→·OB→=16sinθ,OA→·OB→=OA→OB→cosθ=16tanθ,θ∈(0,π2),则当∠AOB最大时,tanθ最大,即OA→·OB→最小,即此时OA→·OB→=(m-2)2+12=12.当且仅当m=2时成立.7.【答案】A高三数学参考答案第2页(共8页)【解析】圆(x-6)2+y2=16的圆心坐标为C(6,0),半径r=4.因为点P为线段AB的中点,AB=43,则|CP|=r2-(12AB)2=16-(23)2=2.所以点P的轨迹是以C(6,0)为圆心,半径为2的圆.点Q在直线x-3y+4=0上,可得圆心C(6,0)到直线x-3y+4=0的距离d=5.所以PQ的最小值为5-2=3.8.【答案】B【解析】设第n次构造后得的数列为1,x1,x2,…,xk,3,则Tn=4+x1+x2+…+xk,则第n+1次构造后得到的数列为1,1+x12,x1,x1+x22,x2,…,xk,xk+32,3,于是Tn+1=6+2(x1+x2+…+xk)=6+2(Tn-4)=2Tn-2,T1=6,显然Tn+1-2=2(Tn-2),而T1-2=6-2=4,因此数列{Tn-2}是以4为首项,2为公比的等比数列,则Tn-2=4×2n-1,即Tn=2n+1+2,所以T8=29+2=514.9.【答案】BD【解析】由a2-b2=(a+b)(a-b)=a+b,因为a,b均为正数,所以a-b=1,ln(a-b)=0,故A错误;由上知b>0,a>1,所以b2>0,a2>1,所以a2+b2>1,故B正确;2a>2,2b>1,所以2a+2b>3,故C错误;2lna-lnb=lna2b=ln(b+1)2b=ln(b+1b+2)≥ln4,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,故D正确.10.【答案】ABD【解析】因为f(x+π)=1+sin(2x+2π)-1-sin(2x+2π)=1+sin2x-1-sin2x=f(x),所以π为函数f(x)的一个周期,又f(x+π2)=1+sin(2x+π)-1-sin(2x+π)=1-sin2x-1+sin2x≠f(x),故A正确;因为f(π-x)=1+sin(2π-2x)-1-sin(2π+2x)=1-sin2x-1+sin2x=-f(x),故B正确;因为f(x)=1+sin2x-1-sin2x=sinx+cosx-sinx-cosx,当x∈[0,π4]时,f(x)=2sinx单调递增,当x∈[π4,π2]时,f(x)=2cosx单调递减,经分析可知f(x)max=f(π4)=2,f(x)min=f(-π4)=-2,所以f(x)∈-2,2,故C错误;结合y=f(x)和y=sinx图象易知两个图象有5个交点,故D正确.11.【答案】ACD【解析】如图1,取分别C1D1,CC1中点为P,Q,易得平面B1PQ∥平面A1BM,高三数学参考答案第3页(共8页)即N的轨迹为线段PQ,又PQ=5,故A正确;如图2,取CD中点为T,连接MT,BT,可得MT∥A1B,所以平面A1BM截四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的截面是四边形A1BTM,故B错误;因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=2π3,所以B1P⊥C1D1,易知B1P⊥平面CDD1C1,因为△C1PQ为直角三角形,所以此时存在N,当C1N⊥PQ时,满足C1N⊥平面B1PQ,即C1N⊥平面A1BM,则有C1N⊥BM,故C正确;三棱锥N-B1D1D的体积最大时,此时点N与点Q重合,如图3.由已知得此时ND=ND1=NB1=22,所以N在底面B1DD1的射影为△B1DD1的外心,又由△B1DD1为直角三角形,所以N...