山西大学附中2025～2026学年高三年级第二学期3月模块诊断数学试题考试时间：120分钟满分：150分命题人：闫芙蓉一、单选题12345678DCDBDCAC二、多选题9．ABD10.BD11.ABD三、填空题12．8013．414．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知函数，．(1)若函数是偶函数，求实数的值．(2)若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【难度】0.85【知识点】分组（并项）法求和、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求等差数列前n项和【分析】（1）利用偶函数的定义和和角公式可求答案；（2）解出方程的根，求出通项公式，利用分组求和的方法可得答案.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，，整理可得，所以，因为，所以.（2）由得，解得，试卷第7页，共8页从小到大排列为：，所以，.16.已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．（1）求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求得，得到，根据题意列出方程，即可求解；（2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解.【小问1详解】解：因为函数，可得，所以，即曲线在点处的切线的斜率为，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，故实数的值为．【小问2详解】解：由（1）知，因为，所以由，即．设，试卷第6页，共8页则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围是．17．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.(1)求的标准方程；(2)若（不在直线上），证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程；（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；（3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点；【详解】（1）因为，，所以，故的标准方程为·（2）证明：依题意可设直线的方程为.由，得则，，，由（2）知，因为，所以即即试卷第7页，共8页即，得，解得或.当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；当时，直线，满足，则直线过定点故直线过定点18.某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标元件数（件）21836404（1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．（i）若，证明：；（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）不可信．【解析】【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得；（2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的试卷第6页，共8页性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果；（ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断.【小问1详解】记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，，，；【小问2详解】（i）由题：若，则，，又，所以（或），由切比雪夫不等式可知，，所以，（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，，由切比雪夫不等式知，，即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．19．如图...