第一次联合诊断检测（数学）第5页共4页2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8BAADBDBC8题提示：由题意，pq，是21200nn的两个正整数根，所以24800，且120pq．()pq，只能取到(1120)，或(1201)，，(260)，或(602)，，(340)，或(403)，，(430)，或(304)，，(524)，或(245)，，(620)，或(206)，，(815)，或(158)，，(1012)，或(1210)，，共8对．故()pq共有8个不同的值．二、多选题9．AD10．AB11．ABD11题提示：由题意，轨迹C的方程为：2222(1)(1)xyxya①．选项A：取1a，①即为2222(1)(1)1xyxy，曲线C经过原点O．A正确．选项B：若00()Mxy，是曲线C上一点，则22220000(1)(1)xyxya．100()Pxy，，200()Pxy，，300()Pxy，也满足①，所以曲线C关于x轴，y轴和原点O对称．B正确．选项C：当1.2a时，①即为2222(1)(1)1.2xyxy．若5(0)5P，，则12PFF△的面积为55；若0(1)Py，，由曲线C的对称性，不妨设00y，则205.4420.2y，所以055y，此时12PFF△的面积大于55．C错误．选项D：当8a时，由2121282PFPFPFPF，得1242PFPF．曲线E：22187xy上任意一点Q满足1242QFQF．所以曲线E“包含于”曲线C，两条曲线的公共点仅有(07)，，(07)，，曲线C围成的面积大于曲线E围成的面积．D正确．三、填空题12．2213．1014．1(,1]2第一次联合诊断检测（数学）第6页共4页14题提示：令(2)|1|0xxax，则|1|2xxax，由题意，0x．结合函数2xya和|1|xyx的图象，知1a或12a．四、解答题15．（13分）解：()fx的定义域为(0,)，22222(2121)axfxxxaxx．……2分（1）当1a时，1()22lnfxxxx，222(1)2xfxxx，所以(1)1f，(1)1f．()fx在(1(1))f，处的切线方程为yx．……7分（2）令2(1)22gxxxa．由题意，当(23)x，时，()0gx；当(4)x，时，()0gx．只需(2)0g，(3)0g，(4)0g，解得：331986a，因为a为整数，所以4a．……13分16．（15分）解：以A为原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系．不妨设2AB，则22PD，2PA，(0,2,0)(0,0,2)(2,2,0)(2,0,0)DPCB，，，．……3分（1）证明：设(2,0,2)PEPB，则(2,0,22)(01)E，故(0,2,2)(22,2,22)DPCE，，由题意，2843cos,2222(22)4DPCEDPCEDPCE，得12，所以，点E为棱PB的中点．……9分（2）(2,0,0)(2,2,0)(1,0,1)CDACAE，，，设平面ACE的法向量为(,,)nxyz，则00.ACnAEn，即2200.xyxz，取(1,1,1)n．第一次联合诊断检测（数学）第7页共4页设直线CD与平面ACE所成角为，则23sin|cos,|||323nCD，所以，直线CD与平面ACE所成角的正弦值为33．……15分17．（15分）解：由题意，(10)F，为抛物线C的焦点．设11(,)Axy，22(,)Bxy，10y．设直线l的方程为：1xay，代入24yx，得：2440yay．则0，124yya①，124yy②．……4分（1）因为3ABBN，所以2AFBF，即122yy③．由①③得：18ya，24ya．又由②，解得24a．因为10y，所以24a．直线l的方程为22220xy．……9分（2）由题意，2(1,)Ny，11(,)OAxy，2(1,)ONy．因为21212111104yyxyyyyy，所以//OAON，O在线段AN上．同理，O在线段BM上．因为//AMBN，所以AOM△与NOB△相似，从而OAOMONOB，即OAOBOMON．……15分18．（17分）解：（1）（i）设第1次抽到优级品为事件A，第2次抽到一级品为事件B，则1124264256CCPABAPBAPA．……4分（ii）根据题意可知X的取值可能为2,3,4,5．则22261215APX...