第1页，共9页高2024级高一下第一次月考数学试题答案和解析1.【答案】𝐵【解答】解：化简可得𝑧=21−𝑖=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=1+𝑖，∴𝑧的共轭复数−𝑧=1−𝑖，故选：𝐵．2.【答案】𝐶【解答】解：当𝑛=1时，𝑎=(1,2)，𝑏=(−1,−2)，此时−2−(−2)=0，故𝑎//𝑏，故充分性成立，当𝑎//𝑏时，满足𝑛(2𝑛−4)+2=0，解得𝑛=1，故此时必要性成立，故“𝑛=1”是“𝑎//𝑏”的充要条件．故选C．3.【答案】𝐴【解答】解：由点𝐴(1,0)，𝐵(0,2)，𝐶(3,2)，得𝐴𝐵=(−1,2)，𝐴𝐶=(2,2)，所以𝐴𝐵在𝐴𝐶方向上的投影向量为𝐴𝐵⋅𝐴𝐶|𝐴𝐶|⋅𝐴𝐶|𝐴𝐶|=−2+422+22·(2,2)22+22=14(2,2)=(12,12)．故选A．4.【答案】𝐷5.【答案】𝐶【解答】解：由题意得𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑠𝑖𝑛2𝐶=sin𝐶sin𝐴+1−𝑐𝑜𝑠2𝐵，第2页，共9页即𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑠𝑖𝑛2𝐶=sin𝐶sin𝐴+𝑠𝑖𝑛2𝐵，由正弦定理得𝑎2+𝑐2=𝑎𝑐+𝑏2，即𝑎2+𝑐2−𝑏2=𝑎𝑐，则cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑐2𝑎𝑐=12，又因为𝐵∈(0,𝜋)，所以𝐵=𝜋3，又|𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶||=3，所以|𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶||2=3=𝐴𝐵|𝐴𝐵|2+2𝐴𝐵|𝐴𝐵|⋅𝐴𝐶|𝐴𝐶|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|2=2+2cos⟨𝐴𝐵,𝐴𝐶⟩，故cos⟨𝐴𝐵,𝐴𝐶⟩=12，因为⟨𝐴𝐵,𝐴𝐶⟩∈(0,𝜋)，所以𝐴=𝜋3．所以三角形▵𝐴𝐵𝐶为等边三角形．故选：𝐶．6.【答案】B【解答】解： 𝐴，𝐵，𝐶∈(0,𝜋)，∴𝐴−𝐵∈(−𝜋,𝜋)，𝐵−𝐶∈(−𝜋,𝜋)，𝐶−𝐴∈(−𝜋,𝜋)，可得cos(𝐴−𝐵)∈(−1,1]，cos(𝐵−𝐶)∈(−1,1]，cos(𝐶−𝐴)∈(−1,1]，若cos(𝐴−𝐵)cos(𝐵−𝐶)cos(𝐶−𝐴)=1，则cos(𝐴−𝐵)=1，cos(𝐵−𝐶)=1，cos(𝐶−𝐴)=1，可得𝐴−𝐵=0，𝐵−𝐶=0，𝐶−𝐴=0，所以𝐴=𝐵=𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．建立如图所示的平面直角坐标系， 𝐴𝐵=2，∴𝐵(2,0)，𝐶(1,3)．由题意设𝑃(𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)(0≤𝜃<2𝜋)，第3页，共9页则𝑃𝐵=(2−𝑐𝑜𝑠𝜃,−𝑠𝑖𝑛𝜃)，𝑃𝐶=(1−𝑐𝑜𝑠𝜃,3−𝑠𝑖𝑛𝜃)，∴𝑃𝐵⋅𝑃𝐶=(2−𝑐𝑜𝑠𝜃)(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)−𝑠𝑖𝑛𝜃(3−𝑠𝑖𝑛𝜃)=3−23cos(𝜃−𝜋6)．因为cos(𝜋6−𝜃)∈[−1,1]，所以3−23cos(𝜃−𝜋6)∈[3−23,3+23]．故选：𝐵．7.【答案】D【解析】解：设𝐴𝐷=2𝐴𝑀，则𝐴𝐷=𝜆𝐴𝐵+(1−𝜆)𝐴𝐶，易知𝐵，𝐶，𝐷三点共线，又𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=|𝐴𝐵||𝐴𝐶|𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=2，则𝑐𝑜𝑠𝐴=2𝑏𝑐=22，又𝐴为△𝐴𝐵𝐶的内角，则𝐴=45°，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=12|𝐴𝐵||𝐴𝐶|𝑠𝑖𝑛𝐴=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛45°=1，又𝑀为𝐴𝐷的中点，则𝑆△𝑀𝐵𝐶=12，则𝑆△𝐴𝐵𝑀+𝑆△𝐴𝐶𝑀=12，所以1𝑆△𝑀𝐴𝐵+1𝑆△𝑀𝐴𝐶=2(𝑆△𝐴𝐵𝑀+𝑆△𝐴𝐶𝑀)(1𝑆△𝑀𝐴𝐵+1𝑆△𝑀𝐴𝐶)=2(2+𝑆△𝑀𝐴𝐵𝑆△𝑀𝐴𝐶+𝑆△𝑀𝐴𝐶𝑆△𝑀𝐴𝐵)≥2(2+2𝑆△𝑀𝐴𝐵𝑆△𝑀𝐴𝐶⋅𝑆△𝑀𝐴𝐶𝑆𝑀𝐴𝐵)=8，当且仅当𝑆△𝑀𝐴𝐵=𝑆△𝑀𝐴𝐶时，等号成立，所以1𝑆△𝑀𝐴𝐵+1𝑆△𝑀𝐴𝐶的最小值是8．故选：𝐷．8.【答案】𝐴【解析】解：由题意可得∠𝐴+∠𝐶=180°，则𝑐𝑜𝑠𝐴=−𝑐𝑜𝑠𝐶，因为𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=6，𝐴𝐷=𝐶𝐷=4在△𝐴𝐵𝐷中，𝑐𝑜𝑠𝐴=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−𝐵𝐷22𝐴𝐵⋅𝐴𝐷=20−𝐵𝐷216，在△𝐵𝐶𝐷中，𝑐𝑜𝑠𝐶=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2−𝐵𝐷22𝐵𝐶⋅𝐶𝐷=52−𝐵𝐷248，所以20−𝐵𝐷216=𝐵𝐷2−5248，可得𝐵𝐷2=28，故𝑐𝑜𝑠𝐶=12，∠𝐵+∠𝐷=180°，cos∠𝐵=−cos∠𝐷，第4页，共9页△𝐴𝐵𝐶中，𝑐𝑜𝑠𝐵=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−𝐴𝐶22𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=40−𝐴𝐶224，△𝐴𝐶𝐷中，𝑐𝑜𝑠𝐷=𝐴𝐷2+𝐷𝐶2−𝐴𝐶22𝐴𝐷⋅𝐷𝐶=32−𝐴𝐶232，所以40−𝐴𝐶224=𝐴𝐶2−3232，得𝐴𝐶2=2567，得cos∠𝐴𝐵𝐶=17，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐷和𝐵𝐶的中点，𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁，①𝑀𝑁=𝑀𝐷+𝐷𝐶+𝐶𝑁，②，又因为𝑀𝐴+𝑀𝐷=0，𝐵𝑁+𝐶𝑁=0，①+②可得2𝑀𝑁=𝐴𝐵+𝐷𝐶，即𝑀𝑁=12(𝐴𝐵+𝐷𝐶)，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=6，𝐴𝐷=𝐶𝐷=4所以𝑀𝑁⋅𝐵𝐶=12(𝐴𝐵+𝐷𝐶)⋅𝐵𝐶=12(𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+𝐷𝐶⋅𝐵𝐶)，=12[|𝐴𝐵|⋅|𝐵𝐶|cos(𝜋−∠𝐴𝐵𝐶)+|𝐷𝐶|⋅|𝐵𝐶|cos∠𝐴𝐶𝐷]=12[2×6×(−17)+4×6×12]=12×(−127+12)=367．故选：𝐴．首先根据圆的几何性质，结合余弦定理，求𝑐𝑜𝑠𝐶和cos∠𝐴𝐵𝐶，再利用向量转化，结合数量积公式，即可求解．本题考查余弦定理及向量的运算性...