哈三中2024—2025学年度下学期高一学年4月月考数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】计算出，则可选出答案.【详解】，所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B2.已知向量，，若，则实数（）A.B.C.D.0【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可.【详解】因为向量，，所以，得.故选：C3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）第1页/共20页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可得到答案.【详解】由正弦定理，得.故选：A.4.如图，已知，，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．【详解】由，得，而，所以.故选：B5.已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用数量积的运算得到，再利用投影向量的定义，即可求解.【详解】因为，，则，第2页/共20页即得到，所以在上的投影向量是，故选：C.6.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）A.船头方向与水流方向垂直B.C.D.该船到达对岸所需时间为3分钟【答案】C【解析】【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间.【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误.设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得.已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误.由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得.将，代入，可得，C选项正确.河宽米千米，合速度，可得.第3页/共20页将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误.故选：C.7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（）A.4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值．【详解】已知，由正弦定理可得，，．将其代入已知条件可得:．因为，那么．则，移项可得．因为，所以，两边同时除以可得．又因为，所以．已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．，．且．则的周长．根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：第4页/共20页因为，所以．当，即时，取得最大值．此时周长的最大值为．故选：Ｂ．8.在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（）A.B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】将用与表示出来，再利用外心的性质求出与，最后根据向量数量积的运算求出．【详解】已知，即．根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得：设为中点，因为点为的外心，则，即．又因为．由于，且，则．已知，所以．同理，设为中点，则．因为，且，所以．已知，所以．将代入可得：第5页/共20页故选：A．二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法错误的是（）A.若，，则B.若且，则C.在中，内角，，的对边分别为，，，是的充要条件D.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则是等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】A选项零向量和任意向量平行，若，即便且，与也不一定平行．B选项可化为，这只能说明与垂直，不能得出．C选项正弦定理，大角对大边，则，能推出；反之也成立，所以是充要条件．D选项由正弦定理把化为，因为，所以或，三角形可能是等腰或直角三角形．【详解】当时，对于任意向量和，都有且，...