第1页，共8页2024-2025学年四川省泸县第五中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos26𝜋3的值为()A.12B.−12C.32D.−322.sin37∘cos7∘−cos37∘sin7∘=()A.−12B.12C.−22D.223.𝐴𝐵+𝐵𝐶−𝐷𝐶=()A.𝐴𝐵B.𝐷𝐴C.𝐴𝐷D.𝐵𝐴4.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，角𝛼的终边经过点35,−45，则sin𝛼=()A.−45B.−35C.35D.455.已知𝐴𝐵=𝑎+5𝑏，𝐵𝐶=−2𝑎+8𝑏，𝐶𝐷=3𝑎−3𝑏，则()A.𝐴、𝐵、𝐷三点共线B.𝐴、𝐵、𝐶三点共线C.𝐵、𝐶、𝐷三点共线D.𝐴、𝐶、𝐷三点共线6.若𝛼∈0,𝜋4，sin𝛼+𝜋4=45，则cos𝛼=()A.210B.−210C.7210D.−72107.已知向量𝑎=(cos𝜃,sin𝜃)，𝑏=(2,−1)，若𝑎⊥𝑏，则sin𝜃+cos𝜃sin𝜃+3cos𝜃的值为()A.13B.35C.45D.238.若tan35∘=𝑚，则1+sin20∘cos20∘=()A.1+𝑚1−𝑚B.1−𝑚1+𝑚C.1𝑚D.𝑚二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知𝛼∈(0,𝜋)，sin𝛼+cos𝛼=−15，则下列结论错误的是()第2页，共8页A.cos𝛼=45B.sin𝛼−cos𝛼=75C.sin𝛼+cos𝛼tan𝛼=−415D.sin𝛼−cos𝛼3sin𝛼+2cos𝛼=−710.已知函数𝑓(𝑥)=34sin4𝑥+14cos4𝑥+34，则下列说法正确的是()A.𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋B.𝑓(𝑥)在0,𝜋4上的值域为12,54C.将𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋12个单位长度得到𝑔(𝑥)的图象，则𝑔(𝑥)的图象关于𝑦轴对称D.若方程𝑓(𝑥)+𝑚=0在0,5𝜋24上恰有一个根，则𝑚的取值范围为−1,−3411.已知𝑃是边长为1的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内一点(含边界)，且𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝜆𝐴𝐹，𝜆∈𝑅，则()A.▵𝑃𝐶𝐷的面积恒为34B.存在𝜆，使得|𝑃𝐶|<|𝐴𝑃|C.cos∠𝐶𝑃𝐷∈12,32D.𝑃𝐶⋅𝐵𝐶的取值范围是[0,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.𝑚，𝑛是平面内两个单位向量，它们的夹角为60∘，|𝑚−2𝑛|=．13.2cos65∘−3cos35∘cos10∘−sin10∘=．14.已知函数𝑓(𝑥)=|sin2𝑥|+1，将𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋4个单位长度，得到函数𝑔(𝑥)的图象，若关于𝑥的方程𝑔(𝑥)=𝑎(𝑎∈𝑅)在0,9𝜋8上有5个实数根，𝑥1,𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5(𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4<𝑥5)，则𝑥1+2(𝑥2+𝑥3+𝑥4)+𝑥5=．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量𝑒1，𝑒2满足|𝑒1|=1，|𝑒2|=3，𝑒1与𝑒2的夹角为5𝜋6．(1)求𝑒1⋅𝑒2；(2)𝑎=𝑒1+2𝑒2，𝑏=−3𝑒1，求cos𝑎,𝑏的值；(3)若𝑒1在𝑒2方向上的投影向量为𝑐，求|𝜆𝑒1−𝑐|(𝜆∈𝑅)的最小值．16.(本小题15分)已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥+23𝑐𝑜𝑠2𝑥−3．(1)求函数𝑓(𝑥)的单调减区间；第3页，共8页(2)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋4个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的12倍，横坐标不变，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，当𝑥∈−𝜋6,𝜋3，解不等式𝑔(𝑥)≥12．17.(本小题15分)某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以𝐶为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路𝑂𝐸，𝑂𝐹，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点𝐴，𝐵.现规划修建一条新路(由线段𝑀𝑃，⌢𝑃𝑄，线段𝑄𝑁三段组成)，其中点𝑀，𝑁分别在𝑂𝐸，𝑂𝐹上，且使得𝑀𝑃，𝑄𝑁所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点𝑃，𝑄，⌢𝑃𝑄所对的圆心角为𝜋6.记∠𝑃𝐶𝐴=2𝜃(道路宽度均忽略不计)．(1)求新路总长度𝑓(𝜃)的解析式；(2)求新路总长度的最小值．18.(本小题17分)如图1所示，在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在线段𝐵𝐶上，满足3𝐶𝐷=𝐷𝐵,𝐺是线段𝐴𝐵上的点，且满足3𝐴𝐺=2𝐺𝐵，线段𝐶𝐺与线段𝐴𝐷交于点𝑂．(1)若𝐴𝐷=𝑥𝐴𝐵+𝑦𝐴𝐶，求实数𝑥，𝑦的值；(2)若𝐴𝑂=𝑡𝐴𝐷，求实数𝑡的值；(3)如图2，过点𝑂的直线与边𝐴𝐵，𝐴𝐶分别交于点𝐸，𝐹，设𝐴𝐸=𝜆𝐴𝐵,𝐴𝐹=𝜇𝐴𝐶，(𝜆>0,𝜇>0)，求𝜆+𝜇的最小值．19.(本小题17分)在平面直角坐标系中，我们把函数𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷上满足𝑥∈𝑁∗,𝑦∈𝑁∗(其中𝑁∗表示正整数)的点𝑃(𝑥,𝑦)称为函数𝑦=𝑓(𝑥)的“正格点”．(1)写出当𝑚=𝜋2时，函数𝑓(𝑥)=sin𝑚𝑥,𝑥∈(0,10)图象上的正格点坐标；(2)若函数𝑓(𝑥)=sin𝑚𝑥,𝑥∈𝑅,𝑚∈(1,2)与函数𝑔(...