铁人中学2024级高一下学期开学考试数学试题考试时间：2025年3月第1页共2页铁人中学2024级高一下学期开学考试数学试题答案一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.D二、多项选择题9.ABD10.CD11.AC三、填空题12.4213.328p+14.34,23æù--çúèû四、解答题15.解：（1）当12Axx=<<时，则关于x的方程22120kxkx-++=的两根分别为1、2，由韦达定理可得2122112kkkì´=ïïí+ï+=ïî，解得1k=.（2）原不等式即为120kxx--<.当0k=时，原不等式即为20x->，解得2x>，此时，2Axx=>；当0k¹时，方程120kxx--=的解为11xk=，22x=，若0k<，解不等式120kxx--<可得1xk<或2x>，此时，12Axxxkìü=íýîþ或；若12k=，即12k=，则原不等式即为220x-<，此时，A=Æ；若102k<<，即12k>，解不等式120kxx--<可得12xk<<，此时，12Axxkìü=<<íýîþ；若12k>，即102k<<，解不等式120kxx--<可得12xk<<，此时，12Axxkìü=<<íýîþ.综上所述，当0k<时，12Axxxkìü=íýîþ或；当0k=时，2Axx=>；当102k<<时，12Axxkìü=<<íýîþ；当12k=时，A=Æ；当12k>时，12Axxkìü=<<íýîþ.16.解：（1）因为3ππcos2023πcossincossincos122sinπsin3πcosπsinsincostanxxxxxxfxxxxxxxxæöæö--+ç÷ç÷-×-×èøèø===--+++-×-×-.因为11tan2faa=-=，则tan2a=-，所以，222222sincos2sintan2tan286sincos2sinsincostan1415aaaaaaaaaaa++-++====+++.（2）由12tanfabab-=-=--，13tanfaa=-=-，可知1tan2ab-=，1tan3a=，所以11tantan32tan2tan111tantan16abaababaaba+-+éù-=-+===ëû---.因为π0,2aæöÎç÷èø、π,π2bæöÎç÷èø，则π0ab-<-<，且1tan02ab-=>，可得ππ2ab-<-<-，则2π,0ab-Î-，所以3π24ab-=-.17.解：（1）当2a=时，4223xxfx=-´+.设2xt=，因为1,2xÎ-，所以1,42téùÎêúëû.则223ytt=-+，1,42téùÎêúëû.因为该函数在1,12éùêúëû上单调递减，在1,4上单调递增.且11913244xy=Þ=-+=，11232xy=Þ=-+=，4168311xy=Þ=-+=所以，所求函数的值域为：2,11铁人中学2024级高一下学期开学考试数学试题考试时间：2025年3月第2页共2页（2）设2xt=，因为0,2xÎ，所以1,4tÎ.问题转化为：方程230tat-+=在(1,4)上有两个不等实根.所以2Δ12014213016430aaaaì=->ïï<<ïíï-+>ï-+>ïîÞ234a<<.所以，实数a的取值范围是：23,418.解：（1）433411cos22sincos2sincossin222fxxxxxxxm=+--+2222221cos2sin2cos2sin22sincoscossin2xxxxxxxxm=+-+-+221cos2sin2sin2cos22xxxxm=-++11cos4sin422xxm=++2πsin424xmæö=++ç÷èø当π,04xéùÎ-êúëû时，π3ππ4,444xéù+Î-êúëû，所以当ππ444x+=，即0x=时，πsin44xæö+ç÷èø有最大值为22，所以122m+=，所以32m=.（2）因为对任意1x，20,xtÎ，当12xx<时，都有1212fxfxgxgx-<-，即1122fxgxfxgx-<-，记hxfxgx=-，则12hxhx<，所以hx在0,t上是增函数.又π2ππ323π3sin4sin482842242gxfxxxéùæöæöæö=+=+++=++ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû.所以22322sin4sin4sin4cos424242424hxfxgxxxxxppppæöæöæöæö=-=+-+=+-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø所以sin4hxx=令ππ2π42π22kxk-££+，求得ππππ2828kkx-££+.故hx的单调增区间为ππππ,2828kkéù-+êúëû，ZkÎ，所以ππππ0,,2828kktéùÍ-+êúëû，当且仅当取0k=时满足条件，所以π08t<£所以实数t的最大值为π8.19.解：（1）因为33xxfxk-=+×为奇函数，所以fxfx-=-，即3333xxxxkk--+×=-+×，所以1330xxk-++=，因此1k=-，（2）存在.假设函数()fx的图象关于直线xm=对称，则函数yfxm=+为偶函数，所以fmxfmx-=+，所以3333mxxmmxmxkk--+--+×=+×，所以3313333mxmxxmmxkk+++×=+×，所以22223330mxmxkk+-+=-，所以223310mxk--=，所以23mk=，9logmk=，因此当9logmk=时，使得函数()fx的图象关于直线xm=对称；（3）(1)(2)(3)(2024)ffffL((1)(2024))((2)(2023))((1012)(1013))ffffff=×××××L1120242024101210121013101333333333----éùéù=++×××++ëûëû202520232023202520251202533333333----=+++×××+++20252025(32)(32)>+××+L20251012(32)=+.