第1页余姚中学2024学年第二学期质量检测高一数学学科答案1.B2.A3.D4.A5.C6.C7.B8.D9.BC10.ACD11.AD12.313.70014.2415.(本题13分)解:(1)依题点(1,b)在第四象限,则b<0,由zz=4,得(1+bi)(1-bi)=4,即b2=3,所以b=-3.----（6分）由(1)知,z=1-3i,由复数z是关于x的方程px2+2x+q=0的根,得p(1-3i)2+2(1-3i)+q=0,整理得(-2p+q+2)+(-23p-23)i=0,而p,q∈R,------------------------（8分）因此-2p+q+2=0,-23p−23=0,-----------------------（11分）解得p=−1,q=−4,所以p+q=-5-----------------------（13分）16.(本题15分)解：(1)因为mn且(1,3),(sin,cos)mnAA，sin3cos0AA-------------------（3分）tan3A，------------------（6分）又因为0,A，所以.3A(2)由题意得13sin24SbcA，得1bc，-------（9分）又因为在三角形ABC中，由余弦定理2222cos,abcbcA得222bc，-------（12分）所以2222,4bcbcbc即，又因为0b，0c，所以2.bc-------------------（15分）17.(本题15分)解：(1)因为E为AD的中点，所以BE����=BA����+AE����=CA����−CB����−12CB����=CA����−32CB����，所以λ=−32，μ=1，故λ+μ=−12;-------------------------------（4分）第2页(2)因为AB=2AE=27，∠BAD=2π3，由余弦定理得BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos∠BAE，即BE2=28+7−2×27×7×(−12)=49，解得BE=7，---------------------------------------（6分）因为AD/​/BC，所以△AME∽△CMB，因为E为AD的中点，且CMAM=BCAE，所以AM�����=−13CA����，因为BF����=2FC����，△ANE∽△FNB，所以ANNF=AEBF=34，所以AN�����=37AF����=−37CA����+17CB����，所以NM�����=AM�����−AN�����=221CA����−17CB����，又因为BE����=CA����−32CB����，所以NM�����=221BE����，因为BE=7，所以|NM�����|=23;--------------------------------------（10分）(3)因为BF����=2FC����，所以AF����=AC����+CF����=−CA����+13CB����，因为BE⊥AF，所以BE����⋅AF����=0，所以(CA����−32CB����)⋅(−CA����+13CB����)=0，则116CA����⋅CB����=CA����2+12CB����2，所以116|CA����|⋅|CB����|cos∠ACB=|CA����|2+12|CB����|2，--------------------------------------（12分）所以cos∠ACB=|CA����|2+12|CB����|2116|CA����|⋅|CB����|≥2×12|CA����|⋅|CB����|116|CA����|⋅|CB����|=6211，当且仅当|CA����|=22|CB����|时，cos∠ACB取到最小值6211．故cos∠ACB的最小值为6211．-------------------------------------（15分）第3页18.(本题17分)（1）易知四边形ABCD是平行四边形254cosABCACD在中，由余弦定理知254cosA同理DBABCDcos+cos=0DA在平行四边形中22+=10ACDB------------------------（4分）（2）证明：①等式左边=2sin2sin1cos22tan2sincos2cossin222AAAAAAAA=右边-所以等式成立．-------------------（8分）②由180AC，得180CA，180DB，由①可知：tantantantan2222ABCD1cos1cos1cos(180)1cos(180)sinsinsin(180)sin(180)ABABABAB22sinsinAB，-----------------（10分）连结BD，在ABD中，由余弦定理有2222cosBDABADABADA，6AB，3BC，4CD，5AD，在BCD中，由余弦定理有2222cosBDBCCDBCCDC，所以22222cos2cos(180)ABADABADABCCDBCCDA，则：2222222265343cos.2()2(6534)7ABADBCCDAABADBCCD又0180A，可知sin0A，于是2210sin1cos7AA，------------------（13分）连结AC，同理可得：2222222263541cos2()2(6354)19ABBCADCDBABBCADCD，又又0180B，可知sin0B，于是2610sin1cos....