小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题2函数与等腰三角形综合问题【例1】．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax24﹣ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：（1） 抛物线y＝ax24﹣ax+3a（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；（2）当y＝0时，ax24﹣ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，即C（2，﹣），把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a8﹣a+3a，解得a＝；（3） A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x1﹣， 抛物线过点D（4，3），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3∴＝16a16﹣a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x24﹣x+3， PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为（m，m24﹣m+3），M点坐标为（m，m1﹣）， 点P与N的纵坐标相同，∴m24﹣m+3＝xN1﹣，∴xN＝m24﹣m+4，∴PM＝yM﹣yP＝m1﹣﹣m2+4m3﹣＝﹣m2+5m4﹣，PN＝xP﹣xN＝m﹣m2+4m4﹣＝﹣m2+5m4﹣，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m4﹣﹣m2+5m4﹣＝﹣2（m﹣）2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当∠EBD为直角时，证明△BME≌△DNB（AAS），求出点D的坐标为（3+m，3﹣m），进而求解；当∠EDB为直角时，同理可解．【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x1﹣；（2）存在，理由：由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x1﹣， l∥BC，且过点O，则直线l的表达式为y＝x，故设点E的坐标为（m，m），而点B的坐标为（3，0），①当∠EBD为直角时，则BE＝BD，分别过点E、D作x轴的垂线，垂足分别为M、N，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠EBM+∠DBN＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°，∴∠EBM＝∠BDN，又 ∠BME＝∠DNB＝90°，BE＝BD，∴△BME≌△DNB（AAS），∴BN＝EM＝m，DN＝BM＝3﹣m，故点D的坐标为（3+m，3﹣m），将点D的坐标代入抛物线表达式得：3﹣m＝（3+m）2﹣（3+m）﹣1，解得m＝（负值已舍去），故点E的坐标为（，）；②当∠EDB为直角时，当点D在点E的右侧时，如图2，设点D的坐标为（x，y），过点D作MN⊥x轴交x轴于点N，过点E作EM⊥MN于点M，同理可得：△EMD≌△DNB（AAS），则EM＝DN，MD＝BN，即x﹣m＝y，m﹣y＝x3﹣，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得，即点D的坐标为（，），将点D的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣（）﹣1，整理得：16m2+60m297﹣＝0，解得：m＝（负值已舍去），故点E的坐标为（，）；当点D在点E的左侧时，如图3，过点D作MN∥x轴，过点E作EN⊥MN于点N，作BM⊥MN于点M，同理可得，点D的坐标为（，），将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得：4m260﹣m...