小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com反；当λ＝0时，λa＝03.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【核心题型】题型一平面向量的基本概念平行向量有念的四注点关概个关(1)非零向量的平行具有性．传递(2)共向量即平行向量，均起点无．线为它们与关(3)向量可以平移，平移后的向量原向量是相等向量．与(4)是与a同方向的位向量．单【例题1】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求.【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，，由，可得是以为直径的圆，所以的轨迹方程为，取的中点为，设，可得，所以，所以，所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，由，所以，所以，所以，所以.故选：A.【变式1】（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量.【答案】【分析】利用与共线且方向相反的单位向量为，即可得出答案.【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是：.故答案为：【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则.【答案】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．题型二平面向量的线性运算平面向量性算的常型及解策略线运见类题(1)向量求和用平行四形法或三角形法；求差用向量法的几何意．边则则减义(2)求可以通向量的算向量表示出，行比，求的．参数问题过运将来进较参数值命题点1向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段是圆的一条...