小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题12数列新定义问题（典型题型归类训练）1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，(1)计算；(2)设数列满足，求的通项公式；(3)设排列满足，求，【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数，从而得解；（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以，所以.2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)是“等比源数列”，不是“等比源数列”，理由见解析(2)不是“等比源数列”，理由见解析【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，（2）假设是“等比源数列”得，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.【详解】（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列”．中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以不是“等比源数列”．（2）不是“等比源数列”．假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的，，三项成等比数列，也就是，即，，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数．所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得不是“等比源数列”．3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中，若存在常数，使得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（）恒成立，则称数列为“数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”；(2)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．【答案】(1)是(2)不是，理由见解析(3)，【分析】（1）根据数列的定义判断（2）根据已知条件求出即可判断；（3）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解得，由此求出，即可求出数列的通项公式.【详解】（1）由题意可得，，，，所以1，2，3，7，43是“数列”；（2）数列不是“数列”，理由如下：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（），则（），又（），所以（），因为不是常数，所以数列不是“数列”．（3）因为数列为“数列”，由（），有（）①，所以（）②，两式作差得（），又因为数列为“数列”，所以（），设数列的公比为，所以（），即对成立，则，又，，得，所以，．4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为【答案】(1)(2)【分析】（1）借助定义计算即可得；（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】（1），则；（2），则.5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．(1)若，...