数论之质合、因倍、余数综合数论之质合、因倍、余数综合一、整除整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。(1)末尾系:2,5;4,25;8,125(1)末尾系:2,5;4,25;8,125(2)和系：3,9;99(3)差系：7,11,13(3)差系：7,11,13(4)拆分系(5)试除法(5)试除法二、质数与合数质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)。合数：一个自然数，除了和它本身还有其他的因数，这样的数叫做合数。合数：一个自然数，除了1和它本身还有其他的因数，这样的数叫做合数。非质非合数：0和1。质数与合数的综合应用．质数界明星：是唯一的偶质数，其余质数都是奇数1．质数界明星：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数5是唯一个位为5的质数，即唯一的5的倍数2．必记结论：2．必记结论：①常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、、3、5、7、、3、7、9、3、9、3、37、、3、7、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个②除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9③最小的四位质数是③最小的四位质数是1009三、因数和倍数1.因数个数定理：分解质因数，指数加1连乘.2.最大公因数和最小公倍数（1）求法：短除法，分解质因数法，辗转相除法（2）性质：两个数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。两个数的最大公因数是这两个数的和，差，两个数的最大公因数是这两个数的和，差，积的因数。四、余数1．运算性质：(1)和的余数等于余数的和(2)积的余数等于余数的积12．同余定理（1）定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）（2）性质若两个数关于某一个数同余，那么这两个数的差一定是这个数的倍数【例1】(★★)有一组密码有个数字组成，它们不是就是，并且数字比数字有一组密码有7个数字组成，它们不是2就是1，并且数字2比数字1的数量多，已知这个密码能被3和4整除，试求出其中的一个密码。【例2】(★★)有一个长长的纸条，里面有个方格，要求在每个方格里填入有一个长长的纸条，里面有37个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从1到37，既不重复，也不遗漏。但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1个数与乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1个数与第2个数之和能被第3个数整除；第1、2、3个数之和能被第4个数整除，…这个规律一直要保持下去，直到前面36个数的和能数整除，…这个规律一直要保持下去，直到前面36个数的和能被最后一个数整除为止。37？如果第一个方格内已填入37，那么最后一个方格中填几？37…？(★★★)【例3】a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果是13的倍数，是11的倍数，是9的倍数，abcdbcdacdabdabc是7的倍数，那么是多少？abcd2【例4】(★★)一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101如果2011年最后一个能被101整除的日子是，20110101.如果2011年最后一个能被101整除的日子是，那么是多少？2011ABCD2011ABCD(★★★)【例5】()有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是？【例】(★★★)一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前【例6】一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数。如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？数，那么原来的四位数是多少？1．整除：整除特征熟记一、本讲重点知识回顾1．整除：整除特征熟记2.质合：100以内质数熟记，特殊质数——2,53.因倍：因数个数定理，最大公因数和最小公倍数的求法4.余数：运算，同余二、本讲经典例题例2，例3，例53