小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展11导数中的不等式证明问题（精讲+精练）一、不等式的证明证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．【常用结论】1.破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式等常见形式2.常见不等式（大题使用需要证明）①，，，一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②，；；③；；④；⑤；⑥；；，【典例1】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明【解析】（1）的定义域为（0，＋∞），当，则当x∈（0，＋∞）时，，故在（0，＋∞）上单调递增.当，则当x∈时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0.故在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－取得最大值，最大值为＝.二、题型精讲精练小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以等价于，即.设g（x）＝lnx－x＋1，则g′（x）＝－1.当x∈（0,1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）＜0.所以g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.故当x＝1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）＝0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【典例2】求证：当时，【详解】证明：当时，欲证，只需证，即证，令，，令，解得，易得在上递减，在上递增，，，令，解得，易得在上递增，在上递减，，故，所以当时，【典例3】已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若、为函数的两个极值点，证明：．【（1）详解】，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则，的对称轴为，△．①时，，函数在上单调递增；②当时，△，可得，，函数在上单调递增；③当时，△，由，解得，．所以在，，上，，，函数是增函数；在，，，，函数是减函数．综上可得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，，上单调递增，在，上单调递减．【（2）详解】证明：有两个极值点，，由（1）知，，所以，要证，即证，即证，因为，所以，所以即证，即证，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，，因为，所以，所以在上单调递减，所以（1），所以恒成立，得证．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【答案】（1）；（2）证明见详解【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒...