小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第02讲平面向量的数量积及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年I卷第3题，5分2023年II卷第13题，5分2023年甲卷（理）第4题，5分2022年II卷第4题，5分平面向量数量积的运算、化简、明证及数量积的应用问题，如明垂直、证距离等是每年必考的内，单题容独命时，一般以选、填形式出．交择空现汇题时，向量一般与解析几何、三命角函数、平面几何等相结合考，而查此时向量作为工出．向量的应用具现是学知识的一个交汇点，必跨科务引起重．视预测题时考平面向量数量积的几命查何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com知识点一．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com知识点二．数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．知识点三．数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）知识点五、向量的点中易错（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且解题方结【法总】（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．题型一：平面向量的数量积运算例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形...