小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§7.6空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空中任意非零向量间两个a，b共面．(√)(2)空中模相等的向量方向相同或相反．间两个(×)(3)若A，B，C，D是空中任意四点，有间则AB＋BC＋CD＋DA＝0.(√)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b－cD．－a－b＋c答案C解析C1M＝C1C＋CM＝C1C＋(CB＋CD)＝A1A＋DA＋BA＝－a－b－c.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案B解析分以别C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z，建立空直角坐系．因轴间标为A1M＝AN＝，所以M，N，所以MN＝，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以C1D1＝(0，a,0)，所以MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1.因为C1D1是平面BB1C1C的一法向量，且个MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案10解析 l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD中，AB＝(－3,5,2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下...