专题09利用空间向量证明平行与垂直问题1．两个重要向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．显然一条直线的方向向量有无数个，它们是共线向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03．利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线．线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．4．利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②利用线面垂直的判定定理用向量表示．面面垂直①证明两个平面的法向量垂直；②利用面面垂直的判定定理用向量表示5．利用空间向量证明线、面垂直(平行)的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【例题选讲】[例1]如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D．[例2]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F．求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD．[例3]如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF．[例4]如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD．[例5]在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．用向量方法证明：(1)EF∥平面ABCD；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)平面PAD⊥平面PDC．[例6]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC．【对点训练】1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)证明AC⊥BC1；(2)证明AC1∥平面CDB1．2．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF．3．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：BC⊥平面BDE．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3．试证明平面AMC⊥平面BMC．5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD．6．如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC...