专题六函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________．(2)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则f＝________．(3)(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若＝，则f(5a)的值是________．(4)(2018·江苏)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R．若f＝f，则a＋3b的值为________．3．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．34．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．5．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comx>时，f＝f．则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．26．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．4考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2020)＝________．(5)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值为________．【对点训练】7．函数f(x)满足f(x＋1...