小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题二对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．ABCDA1B1C1D1【例题选讲】[例](1)正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为________．答案解析这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=√3，R=√32，V=43π⋅3√38=√32π．(2)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．答案解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2+b2=9，b2+c2=4，c2+a2=16∴2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，a2+b2+c2=292，4R2=292，S=292π．(3)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(4)在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是A．B．C．D．答案A解析将侧面和展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为，则的最小值为，．在正四面体的边长为2，外接球的半径，外接球的体积．(5)已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则________．答案解析将四面体放置于长方体中，四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体的外接球，，，且三组对棱两两相等，设，得长方体的对角线长为，可得外接球的直径，所以，三棱锥的外接球表面积为，，解得，即，解之得，因即．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．1．答案16解析将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝，因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16．2．表面积为的正四面体的外接球的表面积为A．B．C．D．2．答案B解析表面积为的正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为．3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．3．答案7π解析在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE． AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝．同理BE＝，取AB的中点为F，连接EF．由AE＝BE，得EF⊥AB．在Rt△EFA中， AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1，取EF的中点为O，连接OA，则OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π．4．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______.4．答案14π解析如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c．则SC＝AB＝＝，SA＝BC＝＝，SB＝AC＝＝，从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝________.5．答案2解析由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，又4π...