专题23极值点偏移问题概述一、极值点偏移的含义函数f(x)满足内任意自变量x都有f(x)＝f(2m－x)，则函数f(x)关于直线x＝m对称．可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x＝m必为f(x)的极值点x0，如图(1)所示，函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．图(1)图(2)图(3)若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数f(x)的极值点为x0，且函数f(x)满足定义域内x＝m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m－x)或f(x)<f(2m－x)，则函数f(x)极值点x0左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1，x2，满足f(x1)＝f(x2)，则与极值点x0必有确定的大小关系：若x0<，则称为极值点左偏；若x0>，则称为极值点右偏．深层理解1．已知函数f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．2．若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．(1)极值点左偏：x1＋x2＞2x0，x＝处切线与x轴不平行．若f(x)上凸（f(x)递减），则f()＜f(x0)＝0，若f(x)下凸（f(x)递增），则f()＞f(x0)＝0．x0x1x2x1+x22x0x1x2x1+x22极值点左偏xxy=ay=a(2)极值点右偏：x1＋x2＞2x0，x＝处切线与x轴不平行．若f(x)上凸（f(x)递减），则f()＜f(x0)＝0，若f(x)下凸（f(x)递增），则f()＜f(x0)＝0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comx0x1x2x1+x22x0x1x2x1+x22极值点右偏xxy=ay=a二、极值点偏移问题的一般题设形式(1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数f(x)的极值点）；(2)若函数f(x)定义域中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数f(x)的极值点）；(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f(x0)＞0；(4)若函数f(x)定义域中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f(x0)＞0．三、极值点偏移问题的一般解法1．对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0．(2)构造函数，即对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性获得不等式．(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．2．比(差)值代换法比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．3．对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)先证：①不等式①构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；(2)再证：②不等式②构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式②成立；综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．[例1](2010天津)已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2，且f(x1...