专题九三角形中的最值(范围)问题【方法总结】三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](2020·浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[例2](2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac．(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．[例3](2014·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若a，b，c成等差数列，证明sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．[例4]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；(2)求sin2A＋sin的取值范围．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．2．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．(1)求角A的大小；(2)求cosC－sinB的取值范围．3．(2016山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．4．(2015湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围．考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例1]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大小；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若a＝，求BC边上的中线AM的最大值．[例2](2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[例3]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2C－cos2A＝2sin·sin．(1)求角A的值；(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．[例4]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos2A－cos2B＋2cos·cos＝0．(1)求角A的值；(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围．[例5]在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，AM＝MC．(1)求BM的长；(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围．【对点训练】1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝．(1)判断△ABC的形状并加以证明；(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求a＋b的最大值．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋bsinC－a－c＝0(1)求B；(2)若b＝，求2a＋c的取值范围．4．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．(1)求角C的大小；(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．5．如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°．(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．考点三三角形中与面积有关的最值(范围)【例题选讲】[例1]已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，c＝2．(1)求△ABC的面积的最大值；(2)求△ABC的周长的取值范围．[例2]已知△ABC的内角A，B，C满足：＝．(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．[例3]已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsin...