小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题33探究是否存在点型问题探索性问题——肯定结论1．存在性问题的解题步骤探索性通常采用问题“肯定推法顺”，不确定性明朗化．一般步：将问题骤为(1)假足件的元素设满条(常、点、直或曲数线线)存在，引入量，根据目件列出于量的参变题条关参变方程(组)或不等式(组)；(2)解此方程(组)或不等式(组)；(3)若方程(组)有解，元素实数则(常、点、直或曲数线线)存在，否不存在．则2．解决存在性问题的注意事项探索性，先假存在，推足件的，若正确存在，若不正确不存在．问题设证满条结论结论则结论则(1)件和不唯一，要分．当条结论时类讨论(2)出而要推出存在的件，先假成立，再推出件．当给结论导条时设条(3)件和都不知，按常方法解很，要思放，采取另外的途．当条结论规题难时维开径【例题选讲】[例1](2020·新高考Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．[规范解答](1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为＋＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0．于是x1＋x2＝－，x1x2＝．①由AM⊥AN，得AM·AN＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0．将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0．因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1．所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)．所以直线MN过点P．若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由AM·AN＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0．又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0．解得x1＝2(舍去)，x1＝．此时直线MN过点P．令Q为AP的中点，即Q．若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝．若D与P重合，则|DQ|＝|AP|．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．[例2]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2．(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|＝|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．[规范解答](1) 直线l的方程为x－y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即F1(－2，0)，∴c＝2，又e＝＝，∴a2＝6，b2＝a2－c2＝2，∴椭圆C1的方程为＋＝1．(2) 圆心C2(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，又直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，∴r＝＝＝2，故圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4．设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|＝|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2，0)，则＝3，整理得2＋y2＝，它表示圆心是C，半径是的圆． |CC2|＝＝，故有2－<|CC2|<2＋，故圆C与圆C2相交，有两个公共点．∴圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|＝|PF2|．[例3]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|＝1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得MP·MQ＝0？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．[规范解答](1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，所以b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2．设P(x0，y0)，则x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝－＋m＝，即P． M(t，0)，Q(4，4k＋m)，∴MP＝，MQ＝(4－t，4k＋m)，∴MP·MQ＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故即t＝1．∴存在点M(1，0)符合题意．[例4]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F2(2，0)，点B(2，－)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程．(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C...