专题12利用空间向量计算空间角的综合问题【例题选讲】考点一求两个空间角[例1](2018·江苏)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．[例2](2020·江苏)在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F－DE－C的大小为θ，求sinθ的值．[例3](2020·天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．(1)求证：C1M⊥B1D；(2)求二面角B－B1E－D的正弦值；(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．[例4](2019·天津)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【对点训练】1．如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．2．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．3．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝2FD，∠DFE＝∠CEF＝45°．(1)求异面直线BC，DF所成角的大小；(2)求平面BDE与平面BEC所成角的余弦值．4．(2017·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求平面BPD与平面APD的夹角；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．(2021·天津)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成的角的正弦值；(3)求二面角A－A1C1－E的正弦值．BADCA1B1C1D1EF6．(2017·天津)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C－EM－N的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．7．(2018·天津)如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；(2)求二面角E－BC－F的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点二已知某一空间角求另一空间角[例1](2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值．[例2]已知三棱锥P－ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．在三棱锥P－ABC中：(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P－BC－M的余弦值．[例3](2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．[例4]如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯...