专题三三角函数的图象与性质(2)考点一三角函数的奇偶性、周期性与对称性【基本知识】正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无【常用结论】1．三角函数的周期性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期T＝．(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期为T＝．函数y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为T＝．(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝．应特别注意函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期为T＝，函数y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为T＝．2．三角函数的奇偶性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．3．三角函数的对称性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．【方法总结】三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且当x＝0时，f(x)＝0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝cosD．y＝sin(2)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称(3)已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为．(4)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为()A．B．C．D．(5)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin(6)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为．(7)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是．(填序号)①f(x)的周期是；②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．(8)设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间上是增函数；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)【对点训练】1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③2．函数y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是()A．2πB．πC．D．3．若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为________．4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝()A．B．C．D．5．函数y＝2sin的图象()A．关于...