专题23全等与相似模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。.................................................................................................................................................1模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）.......................................................................................................1模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）...........................................................................................................6模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）...............................................................................................8模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）...................................................................................................9...............................................................................................................................................10模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。证明：四边形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中证明，可得AE=GF。条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；结论：HE=GF。证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。例1．（2023.江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为6cm，则MN的长为cm．例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为．例3．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例4．（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2．【探究】(1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论．【应用】(2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）．【拓展】(3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值．模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：.证明：四边形为矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：.证明：如图，过点F作于点G，则；四边形为矩形，，四边形为矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易证：DC=AB，FG=BC，....