小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题12二次函数中的存在性问题专训【题型目录】题型一二次函数中直角三角形的存在性问题题型二二次函数中等腰三角形的存在性问题题型三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题题型四二次函数中特殊角度的存在性问题题型五二次函数中平行四边形的存在性问题题型六二次函数中矩形的存在性问题题型七二次函数中菱形的存在性问题题型八二次函数中正方形的存在性问题【经典例题一二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．备用图(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点P的坐标为或小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，代入即可求解；（2）由为锐角可知分两种情况：①当点P为直角顶点时，可得点与点B重合，求出点B坐标即可；②当点A为直角顶点时，证明、关于x轴对称，求出直线的解析式，设，则，根据关于x轴对称的点的坐标特征列方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，可设该抛物线的解析式为，将代入得：，解得，抛物线的解析式为，即；（2）由题意可知，为锐角，需分点P为直角顶点和点A为直角顶点两种情况进行分析：①当点P为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置．，轴，轴，点A在x轴上，点也在x轴上，此时点与点B重合，令，得，解得，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com点A在点B的右侧，，，此时点的坐标为；②当点A为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置．，，，为等腰直角三角形，，，，平分，又轴，，、关于x轴对称，设直线的解析式为，将，代入得，解得，直线的解析式为，设，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，解得，（舍），当时，，此时点的坐标为．综上可得，存在点P，使得是直角三角形，点P的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北十堰·统考一模）抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，符合题意的点E的坐标为或或或．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分三种情况：，，讨论即可．【详解】（1）解： 经过、，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：在y轴上存在点E，使为直角三角形，理由如下： 抛物线的解析式为，∴，设E点坐标为，∴，，，当时，有，∴，解得，∴此时点E的坐标为；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当时，，，解得，∴此时点E的坐标为；当时，，，解得或，∴此时点E的坐标为或．综上所述，符合题意的点E的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数与特殊三角形，掌握待定系数法，勾股定理等知识是解题的关键．2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．(1)求n的值和抛物线的解析式．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)...