小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.3垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．（1）若，，求的直径；（2）若，求的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数．解：（1） AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设，又 BE＝4，∴∴，解得：，∴⊙O的直径是20．（2） OM＝OB，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠B＝∠M，∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B， ∠DOB＋∠D＝90°，∴2∠B＋∠D＝90°， ，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：【变式1】如图，在半径为的中，弦长．求：（1）的度数；（2）点O到的距离．【答案】（1）60°；（2）25mm【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解再利用勾股定理可得答案.解：（1） OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又 AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠AOB＝60°．（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，∴OC＝＝25（mm），即点O到AB的距离是25mm．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长．【答案】6【分析】设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．解：设OE=x，则OF=x-2，由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，解得，x=5，∴OF=3， AC∥OE，OD⊥AC，∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OA=OE，EF⊥AB，∴△ADO≌△OFE，∴AD=OF=3， OD⊥AC，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析(2)cm【分析】（1）根据ACAB，ODAB，OEAC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可...