小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.1垂径定理【典例1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【思路点拨】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH¿12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．【解题过程】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示： OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则CH＝DH¿12CD， OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH¿❑√OC2−CH2=❑√42−22=¿2❑√3，∴AH¿❑√OA2−OH2=❑√62−(2❑√3)2=¿2❑√6，∴AC＝AH﹣CH＝2❑√6−2．1．（2022•芜湖一模）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．2❑√5B．4❑√5C．2❑√5或4❑√5D．2❑√3或4❑√3【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解题过程】解：连接OA， AB⊥CD，∴AM＝BM¿12AB¿12×8＝4，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM¿❑√OA2−AM2=❑√52−42=¿3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC¿❑√AM2+CM2=❑√82+42=¿4❑√5；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝53﹣＝2，在Rt△ACM中，AC¿❑√AM2+CM2=❑√42+22=¿2❑√5．故选：C．2．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）A．5B．2.5C．3D．2【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图， CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD¿❑√OD2−OC2=❑√r2−OC2，当OC的值最小时，CD的值最大，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB¿12AB¿12×5＝2.5，即CD的最大值为2.5，故选：B．3．（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【思路点拨】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解题过程】解： CD是直径，∴OC＝OD¿12CD¿12×10＝5， AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°， AM＝4.8，∴OM¿❑√52−4．82=¿1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝51.4﹣＝3.6，∴AC¿❑√4．82+6．42=¿8，AD¿❑√4．82+3．62=¿6， AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：C．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2❑√6，0)B．(−4+2❑√6，0)C．(−4+❑√26，0)D．(4−❑√26，0)【思路点拨】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解题过程】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH¿❑√EB2...