小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com第七章复数7.3*复数的三角表示7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义后篇课巩固提升必知基备识础练1.(2021河南郑州期末)已知z=cosπ3+isinπ3,则下列结论正确的是()A.z2的实部为1B.z2=z-1C.z2=zD.|z2|=2答案B解析z=cosπ3+isinπ3=12+❑√32i.z2=12+❑√32i2=14−34+❑√32i=-12+❑√32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+❑√32i=z2,故B正确;z=12−❑√32i≠z2,故C错误;|z2|=-122+❑√322=1,故D错误.故选B.2.将复数z=-2❑√3+2i化成三角形式是.答案4(cos56π+isin56π)解析模长|z|=❑√(-2❑√3)2+22=4,设辐角为θ,tanθ=-❑√33,且点(-2❑√3,2)在第二象限,得辐角主值为56π,故z=4(cos56π+isin56π).3.[2(cos60°+isin60°)]3=.答案-8解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com=2(-12+❑√32i)=-1+❑√3i.5.已知z1=12(cosπ3+isinπ3),z2=6cosπ6+isinπ6,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=12×6×cos(π3+π6)+isinπ3+π6=3(cosπ2+isinπ2)=3i.首先作复数z1对应的向量⃗OZ1,然后将⃗OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].能力提升关键练7.复数z=-1+(1+i1-i)2021的辐角主值为.答案3π4解析因为1+i1-i=i,所以(1+i1-i)2021=i2021=i.所以z=-1+i=❑√2cos3π4+isin3π4,所以复数z的辐角主值为3π4.8.(12-❑√32i)20÷(3i)=.答案-❑√36+16i解析原式=[cos(-π3)+isin(-π3)]20÷3cosπ2+isinπ2=cos(-20π3)+isin(-20π3)÷3cosπ2+isinπ2=cos4π3+isin4π3÷3cosπ2+isinπ2=13cos4π3−π2+isin(4π3-π2)=13cos5π6+isin5π6=13(-❑√32+12i)=-❑√36+16i.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数eπ3i+12的模.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+❑√32i.(2)由题意可知eπ3i+12=12+❑√32i+12=1+❑√32i,因此,|eπ3i+12|=❑√12+(❑√32)2=❑√72.10.已知复数z的模为2,实部为❑√3,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=❑√3+bi(b∈R).∵|z|=2,∴❑√3+b2=2,解得b=±1,∴z=❑√3+i或z=❑√3-i.化为三角形式,得z=2cosπ6+isinπ6或z=2cos(-π6)+isin(-π6).11.计算下列各式的值:(1)(-12+❑√32i)·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).解(1)(-12+❑√32i)·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cosπ+isinπ)=-2.(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.12.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(cos2θ+isin2θ)7(cos4θ+isin4θ)6=cosθ-isinθ.证明左边=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)(cos24θ+isin24θ)=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ=右边.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com科素新学养创练13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+❑√2,求θ的值.解(1)argω=3π4,可设ω=a-ai(a∈R),将其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴{2a=ka,2a(1+a)+2=-ka,解得{k=2,a=-1,∴ω=-1+i.(2)|z-ω|=|(cosθ+1)+(sinθ-1)i|=❑√(cosθ+1)2+(sinθ-1)2=❑√3+2(cosθ-sinθ)=❑√3+2❑√2cos(θ+π4).∵|z-ω|=1+❑√2,∴❑√3+2❑√2cos(θ+π4)=1+❑√2,化简得cos(θ+π4)=1.∵π4≤θ+π4<2π+π4,∴θ+π4=2π,即θ=7π4.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com