小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示后篇课巩固提升必知基备识础练1.(多选题)设向量a=(1,0),b=(12,12),则下列结论不正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=❑√22C.a∥bD.a-b与b垂直答案ABC解析A项,|a|=1,|b|=❑√22,故|a|≠|b|;B项,a·b=1×12+0×12=12;C项,1×12≠0×12;D项,a-b=(12,-12),(a-b)·b=12×12−12×12=0,故a-b与b垂直.2.在平行四边形ABCD中,⃗AB=(1,0),⃗AC=(2,2),则⃗AD·⃗BD等于()A.4B.-4C.2D.-2答案A解析如图,由向量的加减,可得⃗AD=⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,2),⃗BD=⃗AD−⃗AB=⃗AC−⃗AB−⃗AB=⃗AC-2⃗AB=(0,2).故⃗AD·⃗BD=(1,2)·(0,2)=0+4=4.3.在矩形ABCD中,AB=2❑√3,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则⃗AE·⃗AF的取值范围是()A.[2,14]B.[0,12]C.[0,6]D.[2,8]小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com答案A解析如图,A(0,0),E(2❑√3,1),设F(x,2)(0≤x≤2❑√3),所以⃗AE=(2❑√3,1),⃗AF=(x,2),因此⃗AE·⃗AF=2❑√3x+2,设f(x)=2❑√3x+2(0≤x≤2❑√3),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2❑√3)=14,故2≤f(x)≤14,⃗AE·⃗AF的取值范围是[2,14].4.(2021河南模拟)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t(t>0),则|a|=3|b|=3t.若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=-12.又由0≤θ≤π,则θ=2π3.故选C.5.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.答案❑√5解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=❑√22+(-1)2=❑√5.6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.答案2解析a·b=-1+3y,|a|=❑√10,|b|=❑√1+y2, a与b的夹角为45°,∴cos45°=a·b|a||b|=-1+3y❑√10×❑√1+y2=❑√22.解得y=2或y=-12(舍去).7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2❑√5.综上,|a-b|=2或2❑√5.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.证明 A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴⃗AB=(1,1),⃗AD=(-3,3).又⃗AB·⃗AD=1×(-3)+1×3=0,∴⃗AB⊥⃗AD,∴AB⊥AD.(2)解 ⃗AB⊥⃗AD,四边形ABCD为矩形,∴⃗AB=⃗DC.设点C的坐标为(x,y),则⃗DC=(x+1,y-4).又⃗AB=(1,1),∴{x+1=1,y-4=1,解得{x=0,y=5.∴点C的坐标为(0,5).∴⃗AC=(-2,4),⃗BD=(-4,2),∴|⃗AC|=2❑√5,|⃗BD|=2❑√5,⃗AC·⃗BD=8+8=16.设⃗AC与⃗BD的夹角为θ,则cosθ=⃗AC·⃗BD|⃗AC||⃗BD|=162❑√5×2❑√5=45.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.能力提升关键练9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足⃗BA+⃗BC=2⃗BP,则⃗PC·⃗PD=()A.-❑√2B.-1C.-2D.-2❑√2答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以⃗BA=(0,2),⃗BC=(2,0),因为⃗BA+⃗BC=2⃗BP,所以2⃗BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故⃗BP=(1,1),故P(1,1),⃗PD=(0,1),⃗PC=(1,-1),所以⃗PC·⃗PD=0×1+1×(-1)=-1.10.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是()小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc98...