小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用后篇课巩固提升必知基备识础练1.(2021四川模拟)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2π3,b=2❑√3,且△ABC的面积为3❑√32,则a=()A.3B.4C.❑√21D.3❑√3答案C解析 A=2π3,b=2❑√3,且△ABC的面积为3❑√32,∴12bcsinA=3❑√32,即12×2❑√3×c×❑√32=3❑√32,解得c=❑√3.又a2=b2+c2-2bccosA=12+3-2×2❑√3×❑√3×-12=21,∴a=❑√21.故选C.2.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(❑√3+1)∶2,则最大角为()A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以ca=sinCsinA=sin(120°-A)sinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=❑√32tanA+12=❑√3+12,解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.3.在△ABC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sinB+C2,则△ABC周长的最大值为()A.8B.7C.6D.5答案C小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com解析由题得a·sinC=c·cosA2,∴sinA·sinC=sinC·cosA2,∴sinA=cosA2,∴2sinA2cosA2=cosA2, A2∈(0,π2),∴cosA2≠0,∴sinA2=12,∴A=π3.由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·(b+c)24,当且仅当b=c=2时,等号成立.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.4.(2021吉林宁江校级三模)在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②⃗AB·⃗AC=4;③sinπ2+2A+2cos2A2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=2sinB,b=2,,求△ABC的面积.解因为sinC=2sinB,b=2,所以c=2b=4.选①:因为(b+a)(b-a)=c(b-c),所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12.又因为A∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×❑√32=2❑√3.选②:若⃗AB·⃗AC=4,则|⃗AB|·|⃗AC|cosA=4,故cosA=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×❑√32=2❑√3.选③:若sinπ2+2A+2cos2A2=1,则cos2A+cosA=0,故2cos2A+cosA-1=0,解得cosA=12(cosA=-1舍去).因为A∈(0,π),所以A=π3.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×❑√32=2❑√3.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值;(2)若⃗BA·⃗BC=2,且b=2❑√2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=13.(2)由⃗BA·⃗BC=2,得accosB=2.由(1)知cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=❑√6.能力提升关键练6.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则ab的取值范围是.答案(❑√2,❑√3)解析 △ABC中,a2=b2+bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+bc=b2+c2-2bccosA,整理,得c=b(1+2cosA),∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),∴ab=❑√2+2cosA, A∈(60°,90°),∴cosA∈(0,12),可得2+2cosA∈(2,3),∴❑√2+2cosA∈(❑√2,❑√3),即ab∈(❑√2,❑√3).7.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=❑√32,则△ABC周长的最小值为.答案3❑√2解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.故cosA=b2+c2-a22bc=12,∴A=π3.由三角形面积公式得12bcsinA=❑√32,bc=2.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com所以三角形的周长a+b+c=❑√b2+c2-bc+❑√(b+c)2=❑√b2+c2-2+❑√b2+c2+4≥❑√2bc-2+❑√2bc+4=❑√2+❑√8=3❑√2,当且仅当a=b=c=❑√2时,等...