小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题三导数及其应用考点7导数的计算与导数的几何意义题组一、选择题1.[2023全国卷甲，5分]曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为(C)A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e4[解析]由题意可知y'=ex(x+1)−ex(x+1)2=xex(x+1)2，则曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线斜率k=y'¿x=1=e4，所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y−e2=e4(x−1)，即y=e4x+e4，故选C.2.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则(D)A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea[解析]设切点为(x0,y0)，y0>0，则切线方程为y−b=ex0(x−a)，由{y0−b=ex0(x0−a),y0=ex0得ex0(1−x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程ex0(1−x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1−x+a)，则f'(x)=ex(1−x+a)−ex=−ex(x−a)，由f'(x)=0得x=a，所以当x<a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(a)=ea(1−a+a)=ea，又当x<a时，a−x>0，所以f(x)>0，当x→−∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→−∞，画出函数f(x)=ex(1−x+a)的大致图象，如图所示，因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点，所以0<b<ea.故选D.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【速解】过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a,b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.故选D.【方法技巧】导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的方程为y−f(x0)=(x−x0)f'(x0)，其中f'(x0)表示曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.有关曲线的切线方程，若没有见到切点，应当先设出切点，再根据切点的“一拖三”（切点与切线斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）来求切线方程.3.[2019全国卷Ⅱ，5分]曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为(C)A.x−y−π−1=0B.2x−y−2π−1=0C.2x+y−2π+1=0D.x+y−π+1=0[解析]依题意得y'=2cosx−sinx，y'|❑x=π=(2cosx−sinx)|x=π=2cosπ−sinπ=−2，因此所求的切线方程为y+1=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0，故选C.4.[2019全国卷Ⅲ，5分]已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(D)A.a=e，b=−1B.a=e，b=1C.a=e−1，b=1D.a=e−1，b=−1[解析]因为y'=aex+lnx+1，所以y'∨¿x=1=ae+1¿，所以切线方程为y−ae=(ae+1)(x−1)，即y=(ae+1)x−1，与切线方程y=2x+b对照，可得{ae+1=2,b=−1,解得{a=e−1,b=−1.故选D.二、填空题5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y=−1ex，y=−1ex.[解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的切线方程，设切点为(x0,y0)，则由y'=1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0=y0x0，解得y0=1，代入y=lnx，得x0=e，所以切线斜率为1e，切线方程为y=1ex.同理可求得当x<0时的切线方程为y=−1ex．综上可知，两条切线方程分别为y=1ex,y=−1ex．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.[2022新高考卷Ⅰ，5分]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).[解析]因为y=(x+a)ex，所以y'=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA=y'¿x=x0=(x0+a+1)ex0=(x0+a)ex0x0，化简，得x02+ax0−a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02+ax0−a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0，解得a←4或a>0，所以a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).7.[2021新高考卷Ⅱ，5分]已知函数f(x)=|ex−1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则|AM||BN|的取值范围是(0,1).[解析]f(x)=∣ex−1∣={ex−1,x≥01−ex,x<0，则当x>0时，f'(x)=ex，f'(x2)=ex2；当x<0时，f'(x)=−ex，f'(x1)=−ex1.因为函数f(x)的图象在点A,B处的两条切线互相垂直，所以−ex1ex2=−...
