小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题三导数及其应用考点7导数的运算及几何意义题组一一、选择题1.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则(D)A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea[解析]设切点为(x0,y0)，y0>0，因为y′=ex，所以设切线方程为y−b=ex0(x−a)，由{y0−b=ex0(x0−a),y0=ex0)得ex0(1−x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程ex0(1−x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1−x+a)，则f′(x)=ex(1−x+a)−ex=−ex(x−a)，由f′(x)=0得x=a，所以当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(a)=ea(1−a+a)=ea，当x<a时，a−x>0，所以f(x)>0，当x→−∞)时,f(x)→0),当x→+∞)时,f(x)→−∞)，（提示：利用极限思想判断函数图象的趋势）函数f(x)=ex(1−x+a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点，所以0<b<ea.故选D.【速解】过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a,b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.故选D.2.[2020全卷Ⅰ，国5分]函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(B)A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[解析] f(x)=x4−2x3,∴f′(x)=4x3−6x2,∴f′(1)=−2，又f(1)=1−2=−1,∴所求的切线方程为y+1=−2(x−1)，即y=−2x+1.故选B.3.[2019全卷Ⅲ，国5分]已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则(D)A.a=e，b=−1B.a=e，b=1C.a=e−1，b=1D.a=e−1，b=−1[解析]因为y′=aex+lnx+1，所以y′¿x=1=ae+1，所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y−ae=(ae+1)(x−1)，即y=(ae+1)x−1，所以{ae+1=2,b=−1,)解得{a=e−1,b=−1.)二、填空题4.[2022新高考卷Ⅰ，5分]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).[解析]因为y=(x+a)ex，所以y′=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA=y′¿x=x0=(x0+a+1)ex0=(x0+a)ex0x0，化简，得x02+ax0−a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02+ax0−a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，所以a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]曲线y=ln|x)过坐标原点的两条切线的方程为y=1ex，y=−1ex.[解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的切线方程，设切点为(x0,y0)，则由y′=1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0=y0x0，解得y0=1，代入y=lnx，得x0=e，所以切线斜率为1e，切线方程为y=1ex.同理可求得当x<0时的切线方程为y=−1ex．综上可知，两条切线方程分别为y=1ex,y=−1ex．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.[2021全卷甲，国5分]曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为y=5x+2.[解析]y′=(2x−1x+2)′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′¿x=−1=5(−1+2)2=5，所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.三、解答题7.[2021北京，15分]已知函数f(x)=3−2xx2+a.（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；因为f(x)=3−2xx2+a，所以f′(x)=(3−2x)′(x2+a)−(3−2x)(x2+a)′(x2+a)2=2x2−6x−2a(x2+a)2.[答案]若a=0，则f′(1)=−4，f(1)=1，代入y−f(1)=f′(1)(x−1)，得4x+y−5=0，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为4x+y−5=0.（Ⅱ）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.[答案]由函数f(x)在x=−1处取得极值可知f′(−1)=0，即8−2a(1+a)2=0，得a=4.此时f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x−4)(x+1)(x2+4)2.当x∈(−∞,−1)∪(4,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(4,+∞)；当x∈(−1,4)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(−1,4).又当x→−∞)时,f(x)>0且f(x)→0)，当x→+∞)时，f(x)<0且f(x)→0),所以f(x)的最...