2013年上海高考理综数学试题及答案一、填空题1．计算：【解答】根据极限运算法则，．2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则【解答】．3．若，则【解答】．4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】，故．5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则【解答】，故．6．方程的实数解为________【解答】原方程整理后变为．7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得，又，故所求为．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差【解答】，．11．若，则【解答】，，故．12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________【解答】，故；当时，即，又，故．13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则【解答】根据反函数定义，当时，；时，，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有．二、选择题15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)【解答】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】，而，故不同数值个数为18个，选A．18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.(A)(B)(C)(D)【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得而中，，故所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．D1C1B1A1DCBA20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，又，可解得(2)设利润为元，则故时，元．21．（6分+8分）已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．【解答】(1)因为，根据题意有(2)，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”...