免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题04妙用等和线解决平面向量系数和与差问题【题型归纳目录】题型一：问题（系数为1）题型二：问题（系数不为1）题型三：问题【知识点梳理】（1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；lAQBOA1B1P【典型例题】题型一：问题（系数为1）例1．（2023·全国·高三专题练习）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，设，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.例2．（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为A．B．C．1D．4【答案】A【解析】设，，所以，又，所以．故选：．例3．（2023·湖南·高考真题）如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．C．D．【答案】B【解析】由，设，且，故，由图可知，因，所以，故AC错；当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】设与交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示：则，设，因为三点共线，则所以，故免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com因为，则所以则，故所以的最小值为2故选：D题型二：问题（系数不为1）例5．（2023·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B例6．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．2C．D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则， BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.例7．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com因为，则，,，又，则，则，则，又，易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B.题型三：问题例8．（2023春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是__________．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【答案】①④【解析】设，由图可知：免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com且，∴①④正确，故答案为：①④例9．（2023·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为___________.【答案】【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所...