第1页，共7页2024-2025学年天津市静海区第一中学高一下学期3月学生学业能力调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知𝐴(1,0)、𝐵(2,1)，若向量是与⇀𝐴𝐵方向相同的单位向量，则𝑎=()A.(1,1)B.(1,0)C.22,−22D.22,222.已知𝑎，𝑏均为单位向量，(2𝑎+𝑏)⋅(𝑎−2𝑏)=−332，则𝑎与𝑏的夹角为()A.𝜋6B.𝜋3C.𝜋4D.𝜋23.在▵𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=52，𝑐=10，𝐴=30∘，则𝐵等于()A.105°B.60°或120°C.15°D.105°或15°4.设𝑎，𝑏是非零向量，“𝑎⋅𝑏=|𝑎||𝑏|”是“𝑎//𝑏”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在▵𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐，𝑎=3，𝐴=60∘，若cos2𝐵=12，则𝑏=()A.1B.3C.2D.226.如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝑂是𝐵𝐶的中点，过点𝑂的直线分别交直线𝐴𝐵，𝐴𝐶于不同的两点𝑀,𝑁，若𝐴𝐵=𝑚𝐴𝑀，𝐴𝐶=𝑛𝐴𝑁，𝑚>0,𝑛>0，则2𝑚+8𝑛的最小值()A.2B.8C.9D.187.在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝐶𝑂=3𝐶𝐸，𝐵𝐸的延长线与𝐶𝐷交于点𝐹.若→𝐴𝐵=→𝑎，→𝐴𝐷=→𝑏，则→𝐸𝐹=()A.67𝑎−16𝑏B.−130𝑎+16𝑏C.130𝑎+16𝑏D.67𝑎+16𝑏第2页，共7页8.已知▵𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，下列四个命题中正确个数是()①若sin2𝐴=sin2𝐵，则▵𝐴𝐵𝐶定为等腰三角形②若𝑎2+𝑏2−𝑐2>0，则▵𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形③若点𝑀是边𝐵𝐶上的点，且𝐴𝑀=23𝐴𝐵+13𝐴𝐶，则▵𝐴𝑀𝐶的面积是▵𝐴𝐵𝐶面积的13④若▵𝐴𝐵𝐶平面内有一点𝑂满足：𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶=0，且|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=|𝑂𝐶|，则▵𝐴𝐵𝐶为等边三角形⑤若𝑂𝐴⋅(𝐴𝐶|𝐴𝐶|−𝐴𝐵|𝐴𝐵|)=𝑂𝐵⋅(𝐵𝐶|𝐵𝐶|−𝐵𝐴|𝐵𝐴|)=0，则点𝑂是▵𝐴𝐵𝐶的内心A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。9.已知向量𝑎=(−2,2),𝑏=(1,1)，则𝑎−𝑏在𝑏方向上的投影向量为．10.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，若𝑎𝑐=8，𝑎+𝑐=7，𝐵=𝜋3，则𝑏=．11.已知向量𝑎=(1,2)，𝑏=(𝑥,1).若⟨𝑎,𝑏⟩为锐角，则𝑥的取值范围是．12.如图，要计算西湖岸边两景点𝐵与𝐶的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取𝐴和𝐷两点，现测得𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,𝐴𝐷=10𝑘𝑚,𝐴𝐵=14𝑘𝑚,∠𝐵𝐴𝐷=60∘,∠𝐵𝐶𝐷=135∘，则两景点𝐵与𝐶的距离为𝑘𝑚．13.在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，|𝐴𝐵|=|𝐵𝐶|=|𝐶𝐷|=𝐷𝐴⋅𝐷𝐶=1,𝐵𝐴⋅𝐵𝐶=12，则|𝐴𝐶|=；𝐵𝐷⋅𝐶𝐷=．三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)已知平面向量𝑎=−3𝑒1+2𝑒2，𝑏=5𝑒1+𝑒2，其中𝑒1=(1,0)，𝑒2=(0,1)．(1)求与的夹角𝜃；(2)若𝑐=4𝑒1−2𝑒2与𝑘𝑎+𝑏共线，求实数𝑘的值．15.(本小题15分)在▵𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑎sin𝐴=4𝑏sin𝐵，𝑎𝑐=5(𝑎2−𝑏2−𝑐2)．(𝐼)求cos𝐴的值；(𝐼𝐼)求sin(2𝐵−𝐴)的值．第3页，共7页16.(本小题15分)在三角形𝐴𝐵𝐶中，已知内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑎=32，𝑏=3，cos𝐴=cos2𝐵．(1)求边𝑐的长；(2)若𝐷为直线𝐵𝐶上的一点，且|⇀𝐶𝐷|=2|⇀𝐵𝐷|，求|⇀𝐴𝐷|．17.(本小题17分)如图，在边长为1的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃是对角线𝐴𝐶上一点，且𝐴𝑃=25𝐴𝐶，则(1)求𝐷𝑃⋅𝐵𝑃；(2)若点𝑀为线段𝐵𝐷(含端点)上的动点，求𝑀𝑃⋅𝑀𝐵的最小值；(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．18.(本小题17分)在▵𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑎sin𝐵=𝑏sin2𝐴．(1)求角𝐴的大小．(2)若𝑏=3，▵𝐴𝐵𝐶的面积为33，求▵𝐴𝐵𝐶的周长．(3)若▵𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，求2cos𝐵+cos𝐶的取值范围．第4页，共7页参考答案1.𝐷2.𝐴3.𝐷4.𝐴5.𝐴6.𝐶7.𝐵8.𝐵9.−𝑏/(−1,−1)10.511.(−2,12)∪(12,+∞)12.3213.1；1+3214.(1)因为𝑒1=(1,0)，𝑒2=(0,1)，所以𝑎=−3𝑒1+2𝑒2=(−3,2)，𝑏=5𝑒1+𝑒2=(5,1)，𝑎⋅𝑏=−3×5+2=−13，|𝑎|=13,|𝑏|=26，∴cos𝜃=→𝑎⋅→𝑏|→𝑎||→𝑏|=−1313×26=−22， 0≤𝜃≤𝜋，∴𝜃=3𝜋4．(2)𝑐=4𝑒1−2𝑒2=(4...