1专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,23【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设Nx,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图， △AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时， B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°， AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设Nx,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，2023年中考数学【函数与几何综合问题】真题汇编2解得：x=-203，则-2x-6=223，∴CM=CK-MK=223-203=23，∴M-8,23；综上：M-8,6或M-8,23．故答案为：M-8,6或M-8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点Em，0，Fm+3，0，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．【答案】392【分析】作出点C3，-2，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利用解直角三角形求得F113，0，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．【详解】解： 直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴B0，2，A6，0，作点B关于x轴的对称点B0，-2，把点B向右平移3个单位得到C3，-2，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B作BE∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB是平行四边形，此时，BE=BE=CF，∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，作CP⊥x轴于点P，则CP=2，OP=3， ∠CFP=∠AFD，∴∠FCP=∠FAD，∴tan∠FCP=tan∠FAD，∴PFPC=OBOA，即PF2=26，∴PF=23，则F113，0，设直线CD的解析式为y=kx+b，则3k+b=-2113k+b=0，解得k=3b=-11，3∴直线CD的解析式为y=3x-11，联立，y=3x-11y=-13x+2，解得x=3910y=710，即D3910，710；过点D作DG⊥y轴于点G，直线y=-43x+2与x轴的交点为Q32，0，则BQ=OQ2+OB2=52，∴sin∠OBQ=OQBQ=3252=35，∴HG=BHsin∠GBH=35BH，∴3BH+5DH=535BH+DH=5HG+DH=5DG，即3BH+5DH的最小值是5DG=5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)a>12的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A1,0，B5,0，C0,5a，直线BM解析式为y=-12x+52，直线AM的解析式为y=12x-12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM过BC中点，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=-12x+52，AC中点坐标为12,52a，待入直线求得a=910；...