中考数学圆中的有关计算与证明专题卷训练1.[2019·福建]如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值.解：(1)证明： AC⊥BD，∴∠AED=90°，在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠CAD， AB=AC，∴�t�=�t�，∴∠ACB=∠ABC.∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD)，即∠BAC=2∠CAD.(2) DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD. ∠BDC=∠BAC，∠BAC=2∠CAD，∴∠CFD=∠CAD. ∠CAD=∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF=CB. AC⊥BD，∴BE=EF，故CA垂直平分BF，∴AC=AB=AF=10，设AE=x，则CE=10-x，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BE2=BC2-CE2，又 BC=45，∴102-x2=(45)2-(10-x)2，解得x=6，∴AE=6，CE=4，∴BE=�t2-��2=8. ∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE，∴△ADE∽△BCE，∴��t�=��t�=��tt，∴DE=3，AD=35，过点D作DH⊥AB于H. S△ABD=12AB·DH=12BD·AE，BD=BE+DE=11，∴10DH=11×6，∴DH=335，在Rt△ADH中，AH=��2-��2=65，∴tan∠BAD=����=33565=112.2.[2019·绵阳]如图，AB是☉O的直径，点C为t��的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长.解：(1)证明： C是t��的中点，∴t��=tt�. AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴tt�=t��，∴t��=t��，∴CD=BF.在△BFG和△CDG中， ∠�=∠t�h，∠�ht=∠�ht，t�=t�，∴△BFG≌△CDG(AAS).(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC， t��=tt�，∴∠HAC=∠BAC. CE⊥AB，∴CH=CE. AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH. t��=tt�，∴CD=BC.又 CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6. AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC， ∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴tt�t=t�tt，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=23.3.[2019·合肥瑶海区三模]如图，四边形ABCD是☉O内接四边形，点D是弧BC中点，DE⊥AC，垂足为E，F是CA延长线上一点，且AF=AB.求证：点E是FC的中点.证明：连接BD. 点D是弧BC的中点，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.又 ∠DAF+∠DAC=180°，∠DAC=∠DBC，∴∠DAF+∠DCB=180°. 四边形ABCD是☉O内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴∠DAF=∠DAB.又 AB=AF，AD=AD，∴△DAF≌△DAB(SAS)，∴DF=DB，又 DB=DC，∴DF=DC.又 DE⊥AC，∴EF=EC，∴点E是FC的中点.4.[2019·马鞍山三模]如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是���上的一点，AF，CD的延长线相交于点G.(1)若☉O的半径为32，且∠DFC=45°，求弦CD的长；(2)求证：∠AFC=∠DFG.解：(1)如图①，连接OD，OC. 直径AB⊥CD，∴t��=tt�，DE=CE，∴∠DOE=12∠DOC=∠DFC=45°.又 在Rt△DEO中，OD=32，则DE=3，CD=6.(2)证明：如图②，连接AC. 直径AB⊥CD，∴�t�=���，∴∠ACD=∠AFC， 四边形ACDF内接于☉O，∴∠DFG=∠ACD，∴∠DFG=∠AFC.|类型2|圆的切线判定与性质5.[2019·菏泽]如图，BC是☉O的直径，CE是☉O的弦，过点E作☉O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BA⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABG=2∠C；(2)若GF=33，GB=6，求☉O的半径.解：(1)证明：连接OE， EG是☉O的切线，∴OE⊥EG， BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A=∠OEC， OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠C， ∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C.(2) BF⊥GE，∴∠BFG=90°， GF=33，GB=6，∴BF=th2-h�2=3， BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴t���=th�h，∴3��=66+��，∴OE=6，∴☉O的半径为6.6.[2019·天水]如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是☉O的切线；(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长.解：(1)证明：连接OC， OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC.在△OAP和△OCP中，��=�t，��=�t，��=��，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP. PA是☉O的切线，∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，...