小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com中考数学几何模型8：费马点最值模型TH名师点睛拨开云雾开门见山费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com典题探究启迪思维探究重点例题1.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=AGB=BGC=120°.∠∠求证：GA+GB+GC的值最小.证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGBCPD△≌；CPD=CGB=120°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,GCB=PCD.∴∠∠∠∠GCP=60°,∠ BCD=60°,∴∠GCP∴△和△BCD都是等边三角形。AGC=120°,CGP=60°. ∠∠A∴、G、P三点一线。CPD=120°,CPG=60°. ∠∠G∴、P、D三点一线。AG∴、GP、PD三条线段同在一条直线上。GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G∴点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中，①，②。又，所以③.++①②③可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，即.综上，的取值范围为.例题2.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．解如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG． 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+． 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴+=，解得=2．注本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,求PB的值.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．【解答】600+500√3，线段A1E为最短．变式练习>>>3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N， M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E， △ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，P1EA1DACPBH600m1000mDACPBH小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000...