小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com初中数学几何模型4：中点模型名师点睛拨开云雾开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．【解答】证明：连接BG和CE交于O， 四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． BE、BC、CG的中点M、Q、N，ABCDEABCDEFEDCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴MQ＝CE，QN＝BG， BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>1.如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P， B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM＝∠CDM，又 ∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM， BM∥CE，∴∠AMB＝∠E，同理：∠DME＝∠A．∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）＝∠FBC＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．例题2.如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】证明：如图，连接EG、DG， BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，∴DG＝EG＝BC， 点F是DE的中点，∴GF⊥DE．变式练习>>>2.如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．【解答】解：取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，∴四边形NMFP是平行四边形，∴∠PNM＝∠PFM， PD⊥AB，PE⊥AC，∴DN＝PB，EF＝PC，∴DN＝MF，MN＝EF， ∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD， ∠ABP＝∠ACD，∴∠DNP＝∠PFE，∴∠DNM＝∠EFM，在△DNM与△MFE中，，∴△DNM≌△MFE，∴DM＝EM，∴△DME是等腰三角形，∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．例题3.已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】（1）解： AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，∴BD＝CD，BE＝DE，∴BE＝BD，BD＝BC；又 AB＝BD，∴BE＝AB，AB＝BC，∴＝＝，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA；（2）证明： 由（1）知，△ABE∽△CBA，∴＝＝，∴AC＝2AE．变式练习>>>3.如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．【解答】解：（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文...