小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.求证:(1)AP∥平面EBD;(2)BE⊥PC.2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=❑√6,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.(1)求证:MN∥BD;(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求证:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.4.(2021·全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com5.(2021·山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求证:AC⊥BD.(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为❑√33.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.证明:(1)连接AC交BD于点O,连接OE,因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.又E为PC的中点,所以AP∥OE.又AP⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以AP∥平面EBD.(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD⊂平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BD.又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.又BE⊂平面BDE,所以BE⊥PC.2.(1)证明:因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,又EF⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,所以EF∥平面PBD.又EF⊂平面α,平面α∩平面PBD=MN,所以EF∥MN,所以MN∥BD.(2)解:因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=12BD.又EF=2MN,所以BD=4MN.由(1)知MN∥BD,所以PM=14PB.如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),所以⃗AP=(-1,1,2),⃗EF=(-1,-1,0),⃗PB=(1,1,-2),⃗EB=(0,1,0),所以⃗MB=34⃗PB=(34,34,-32),所以⃗EM=⃗EB−⃗MB=(-34,14,32).设平面α的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗EF=0,n·⃗EM=0,即{-x-y=0,-34x+14y+32z=0,令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<⃗AP,n>|=|⃗AP·n||⃗AP||n|=2❑√6×❑√22=❑√3333,所以直线PA与平面α所成角的正弦值为❑√3333.3.(1)证明:如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解:以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,❑√3,0),C1(1,❑√3,1),A1(-1,❑√3,1),所以⃗CD=(-1,❑√3,0),⃗DC1=(1,0,1),⃗A1C1=(2,0,0),⃗OD=(0,❑√3,0).设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则{m·⃗CD=0,m·⃗DC1=0,即{-x+❑√3...