小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数C(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.常用结论1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．C＝C＋C.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展式中的第开k．项(×)(2)(a＋b)n的展式中每一的二式系开项项数与a，b无．关(√)(3)通公式项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互．换(√)(4)二式的展式中的系最大二式系最大是相同的．项开数项与项数项(×)教材改编题1.10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析因展式的通为开项为Tk＋1＝，令－10＋k＝小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2，得k＝8，所以展式中开x2的系数为(－1)8×C＝45.2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于()A．31B．32C．15D．16答案A解析逆用二式定理得项C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因二式系之和为项数为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即k＝3常，时为数项T4＝C＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二项式10的展开式中的常数项是()A．－45B．－10C．45D．65答案C解析由二式定理得项Tk＋1＝C10－k(－x2)k＝，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.答案±1解析5的展式的通开项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝(－a)kC.由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，由则1＋10a2＝11，解得a＝±1.命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168答案D解析在(1＋x)8的展式中含开x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展式中含开y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A．3204B．－160C．160D．－320答案D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析6的展式的通开项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝C·2k·x6－2k，2xTk＋1＝C·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，aTk＋1＝aC·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，则aC·22＝60a＝－120，解得a＝－2， 7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，∴展式中的常－开数项为2C·23＝－320.思维升华(1)求二展式中的特定，一般是化通后，令字母的指符合要求项开项简项数(求常，指零；求有理，指整等数项时数为项时数为数)，解出项数k＋1，代回通即可．项(2)于几多式的展式中的特定，一般可以根据因式乘的律，合合对个项积开项问题连规结组思想求解，但要注意适地用分方法，以免重或漏．当运类复遗跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x＋y)8展式的通开项为Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展式中开x2y6的系数为C－C＝－28.(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案165解析由意得，题(＋x)9的通公式项为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0，...