专题07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！.................................................................................................................................................2模型1.平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型...................................................7...............................................................................................................................................15模型1.平分平行（射影）构等腰模型角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。1）角平分线加平行线必出等腰三角形．图1图2图3条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。证明： PQ//ON，∴∠1=∠3， OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。证明： DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC， BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。证明：由题意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC， BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．FABCDE→××○○×图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.结论：三角形CEF是等腰三角形。证明： BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE， ∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°， ∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确； 四边形为平行四边形，∴， ...