专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。.................................................................................................................................................2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2模型2.等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................8模型3.等边内接等边....................................................................................................................................12...............................................................................................................................................18模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。证明：如图，过点D作交于H，则，， ，∴，∴，∴， ，∴，在和中,，∴，∴； ，∴， ，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中，，，点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动的速度相同，连接与线段相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．(1)求证:；(2)求证:；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用、的移动速度相同，得到，利用线段间的关系即可推出；（2）过点P作，交于点F，利用等边对等角结合已知可证，即可得出结论；（3）过点P作，交于点F，由（2）得，可知为等腰三角形，结合，可得出即可得出为定值．【详解】（1）证明：、的移动速度相同，，，；（2）如图，过点P作，交于点F，，，，，，，由（1）得，，在与中，，，；（3）解：为定值5，理由如下：如图，过点P作，交于点F，由（2）得：，为等腰三角形，，，由（2）得，，，为定值5．例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）过点E作交于点F，证明即可得解；（2）过点E作交的延长线于点F，证明即可得解；（3）过点E作交的延长线于点F，证明，由相似三角形的性质即可得解．【详解】（1）解：，理由如下：过点E作交于点F， ，， ，，，， ，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：理由如下：如图，过点E作交的延长线于点F， ，，，在和中，，∴，；（3）解：如图，过点E作交的延长线于点F ，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥...